Eigenwerte durch QR-Verfahren ermitteln
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20.12.2020, 22:25 Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte durch QR-Verfahren ermitteln
Wie ermittelt man aus dem QR-Verfahren die Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix?
Wenn ich mit Matlab eine zufällige 3*3-Matrix A generiere, und diese mittels QR-Verfahren zerlege, erhalte ich die Orthonormalmatrix Q und die obere Dreiecksmatrix R. Es gilt:



Wenn ich jedoch den Algorithmus zur Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren aufrufe, dann erhalte ich die Matrix mit den Eigenvektoren V und die Diagonalmatrix D mit den Eigenwerten. Es gilt:



Nun unterscheiden sich jedoch Q und R grundlegend von V und D. Wie kann ich aus Q und R die Matrizen V und D generieren?
21.12.2020, 20:05 URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte durch QR-Verfahren ermitteln
Warum sollte das so einfach möglich sein? Das würde ja insbesondere bedeuten, dass man für ein orthogonale Matrix A mehr oder minder einfach die zugehörigen Eigenvektoren und Eigenwerte bestimmen könnte.
Es gibt allerdings ein Householder-Verfahren zur Berechnung der Eigenwerte, aber das arbeitet mit Ähnlichkeitstransformationen, also sowas wie für orthogonale . Vielleicht meinst du das.
21.12.2020, 23:28 Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte durch QR-Verfahren ermitteln
Zitat:
Original von URL
Warum sollte das so einfach möglich sein?

Ab und zu wird die QR-Methode gepriesen um Eigenwertberechnungen[/URL] zu ermöglichen.
Da steht in Wikipedia:
Zitat:
Numerische Berechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Während die exakte Berechnung der Nullstellen des charakteristischen Polynoms schon für dreireihige Matrizen nicht so einfach ist, wird sie für große Matrizen meist unmöglich, sodass man sich dann auf das Bestimmen von Näherungswerten beschränkt. Hierzu werden Verfahren bevorzugt, die sich durch numerische Stabilität und geringen Rechenaufwand auszeichnen. Dazu gehören Methoden für dichtbesetzte kleine bis mittlere Matrizen, wie

der QR-Algorithmus,
der QZ-Algorithmus,
der QS-Algorithmus und
die Deflation
22.12.2020, 10:20 URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte durch QR-Verfahren ermitteln
Im zitierten Wikiartikel steht doch, dass es um Ähnlichkeitstransformationen geht, wie ich auch sagte.
Und weiter wird dort zwischen QR-Algorithmus, zur EW-Berechnung, und der QR-Zerlegung unterschieden. Du hast die QR-Zerlegung von A gemacht, die man aber in der Iteration gar nicht braucht.
22.12.2020, 10:45 Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte durch QR-Verfahren ermitteln
Zitat:
Original von URL
Und weiter wird dort zwischen QR-Algorithmus, zur EW-Berechnung, und der QR-Zerlegung unterschieden.

Jetzt verwirrst Du mich aber. Dort wird bestimmt nicht zwischen QR-Algorithmus und QR-Zerlegung unterschieden. Was soll den der Unterschied sein?
22.12.2020, 12:04 URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte durch QR-Verfahren ermitteln
Im wiki-Artikel zum Eigenwertproblem, aus dem du in deinem Beitrag kopiert hast, ist ein Link zum QR-Algorithmus.
Wenn man diesem Link folgt, findet man im Artikel zum QR-Algorithmus einen Link zur QR-Zerlegung.
Pardon, ich hatte gedacht, du wärest schon zum QR-Algorithmus-Artikel vorgedrungen gewesen.
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22.12.2020, 12:27 Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte durch QR-Verfahren ermitteln
@URL
Ich bin schon auf die Beschreibung des QR-Verfahrens vorgedrungen. Aber dort finde ich nichts mehr über das Thema Eigenwerte. Oder habe ich dabei etwas übersehen?
22.12.2020, 12:39 URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte durch QR-Verfahren ermitteln
Jetzt verwirrst du mich aber, denn auf der Seite gibt es 31 Treffer zum Begriff Eigenwert. verwirrt
22.12.2020, 13:26 Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte durch QR-Verfahren ermitteln
@URL
Wie macht man das, daß das Wort "Eigenwert" überall dort angezeigt wird, wo es vorkommt, nebst Zählung?

Außerdem steht auf der Seite komprimierte Mathematik, die für mich zu kompliziert ist, um auf Anhieb durchzusteigen. Meine Frage ist doch klar. Wir haben die Matrizen Q und R. Wie macht man daraus die Eigenwerte und die Eigenvektoren?
22.12.2020, 13:32 URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte durch QR-Verfahren ermitteln
Man benutzt den firefox und sucht nach "Eigenwert"

Vielleicht war meine Antwort
Zitat:
Warum sollte das so einfach möglich sein? Das würde ja insbesondere bedeuten, dass man für ein orthogonale Matrix A mehr oder minder einfach die zugehörigen Eigenvektoren und Eigenwerte bestimmen könnte.

nicht klar genug. Nach meinem Verständnis bekommt man die Eigenwerte einer Matrix überhaupt nicht aus der QR-Zerlegung einer Matrix
22.12.2020, 13:51 Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte durch QR-Verfahren ermitteln
Zitat:
Original von URL
Man benutzt den firefox und sucht nach "Eigenwert"

Ich arbeite gerade mit meinem Mac. Da habe ich nur Safari und nicht Firefox.

Zitat:
Nach meinem Verständnis bekommt man die Eigenwerte einer Matrix überhaupt nicht aus der QR-Zerlegung einer Matrix
Und warum steht da in Wikipedia im zweiten Satz
Zitat:
QR-Algorithmus
...
Der QR-Algorithmus ist ein numerisches Verfahren zur Berechnung aller Eigenwerte und eventuell der Eigenvektoren einer quadratischen Matrix. ...
?
22.12.2020, 14:18 URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte durch QR-Verfahren ermitteln
Mac...selbst gewähltes Schicksal smile
Willst du mich auf den Arm nehmen? geschockt In dem von dir zitierten zweiten Satz steht doch explizit QR-Algorithmus und nicht QR-Zerlegung, und weiter "Das auch QR-Verfahren oder QR-Iteration genannte Verfahren basiert auf der QR-Zerlegung" (Hervorhebung von mir)
23.12.2020, 19:20 Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte durch QR-Verfahren ermitteln
@URL
Noch blicke ich nicht durch. Sollte es nicht eindeutig sein, was eine QR-Zerlegung macht? Ich habe immer noch nicht begriffen, was der QR-Algoritmus anderes tun soll als eine QR-Zerlegung. Bis jetzt hast Du mir noch nicht geholfen.
23.12.2020, 21:43 URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte durch QR-Verfahren ermitteln
Zitat:
Sollte es nicht eindeutig sein, was eine QR-Zerlegung macht?

Wer hat etwas anderes behauptet? Die QR-Zerlegung liefert eine Zerlegung A=QR mit orthogonaler Matrix Q und oberer Dreiecksmatrix R. Ob dabei Q und R dabei eindeutig sind, ist eine andere Frage.
Zitat:
Ich habe immer noch nicht begriffen, was der QR-Algoritmus anderes tun soll als eine QR-Zerlegung

Das begreife ich nun wiederum nicht. Sag mir doch, wie du aus dem Schema darauf kommst, der QR-Algorithmus wäre nur eine QR-Zerlegung.
Weil du eingangs schon die QR-Zerlegung in Matlab erwähntest: Hast du damit ein paar Schritte des Schemas durchgeführt?
23.12.2020, 22:08 Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte durch QR-Verfahren ermitteln
Zitat:
Original von URL
Sag mir doch, wie du aus dem Schema darauf kommst, der QR-Algorithmus wäre nur eine QR-Zerlegung.

Ich stelle mir vor, daß wenn der QR-Algorithmus auf eine quadratische Matrix losgelassen wird, eine rechte obere Dreiecksmatrix entsteht, bei der aus den Diagonalelementen irgendwie die Eigenwerte und im Zusammenhang mit der Orthonormalmatrix die Eigenvektoren bestimmt werden können.
Auf Wiki Heißt es dazu:
Zitat:
Wird im Grenzwert eine obere Dreiecksmatrix erreicht, eine Schurform von A, so lassen sich die Eigenwerte aus den Diagonalelementen ablesen.

Nur leider habe ich noch nicht verstanden, wie das geht.
23.12.2020, 22:33 URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte durch QR-Verfahren ermitteln
Da es sich um Ähnlichkeitstransformationen handelt, haben die iterierten Matrizen alle die gleichen Eigenwerte wie A, und die Eigenwerte einer Dreiecksmatrix sind schlicht die Diagonalelemente. Ist man also im Lauf des QR-Algorithmus hinreichend nahe (wie auch immer man das für sich entscheidet) an einer Dreiecksmatrix, nimmt man deren Diagonalelemente als Eigenwerte von A.
Beweise zur Konvergenz findest du in Büchern zur Numerischen Mathematik.
oder hier durchblättern, da gibts auch Beispieliterationen.
23.12.2020, 23:35 Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte durch QR-Verfahren ermitteln
Zitat:
Original von Ulrich Ruhnau
Zitat:
Original von URL
Sag mir doch, wie du aus dem Schema darauf kommst, der QR-Algorithmus wäre nur eine QR-Zerlegung.

Ich stelle mir vor, daß wenn der QR-Algorithmus auf eine quadratische Matrix losgelassen wird, eine rechte obere Dreiecksmatrix entsteht, bei der aus den Diagonalelementen irgendwie die Eigenwerte und im Zusammenhang mit der Orthonormalmatrix die Eigenvektoren bestimmt werden können.
Auf Wiki Heißt es dazu:
Zitat:
Wird im Grenzwert eine obere Dreiecksmatrix erreicht, eine Schurform von A, so lassen sich die Eigenwerte aus den Diagonalelementen ablesen.

Nur leider habe ich noch nicht verstanden, wie das geht.


Der iterative Algorithmus ist:

(i)

(ii)

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