Massenmittelpunkt eines Kegels

21.12.2020, 20:26	Skytall	Auf diesen Beitrag antworten »
Massenmittelpunkt eines Kegels Meine Frage: Guten Abend, ich versuche den Massenmittelpunkt eines Kegels mit Radius $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ , Höhe $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ und homogener Dichteverteilung zu bestimmen. Bei Google habe ich Lösungen gefunden, allerdings immer mittels Zylinderkoordinaten, welche wir noch nicht hatten. Deshalb bin ich meinen eigenen Weg gegangen und bin nicht weit vom richtigen Ergebnis $\begin{eqnarray} \frac{H}{4} \end{eqnarray}$ entfernt. Meine Ideen: $\begin{eqnarray} r_S = \frac{1}{M}\int_{V_\mathrm{Keg}}\! \vec{r}\,\rho (\vec{r})\,\mathrm{d}V = \frac{1}{V_\mathrm{Keg}}\int_{V_\mathrm{Keg}}\! \vec{r}\,\mathrm{d}V \end{eqnarray}$ . Ich lege das Koordinatensystem so, dass $\begin{eqnarray} O \end{eqnarray}$ im Mittelpunkt der Grundfläche des Kegels liegt und die Spitze in $\begin{eqnarray} (0,0,H) \end{eqnarray}$ . Aus Symmetriegründen ist die x- und die y-Koordinate gleich 0. Als $\begin{eqnarray} \mathrm{d}V \end{eqnarray}$ wähle ich infinitesimal hohe Kegelscheiben, deren Volumen nur von der Höhe abhängt. Der Radius der (Zylinder-)Scheiben ist $\begin{eqnarray} r(h)=-\frac{R}{H}h+R \end{eqnarray}$ Die Grundfläche der Scheiben ist $\begin{eqnarray} A(h)=\pi r^2(h) = \pi R\left(1-\frac{h}{H}\right)^2 = \pi R \left(1-\frac{2h}{H}+\frac{h^2}{H^2}\right) \end{eqnarray}$ . Damit ist $\begin{eqnarray} \mathrm{d}V(h) = \pi R \left(1-\frac{2h}{H}+\frac{h^2}{H^2}\right)\, \mathrm{d}h \end{eqnarray}$ . Eingesetzt in die Massenmittelpunktsformel habe ich damit $\begin{eqnarray} h_S \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{\pi R^2}{V_\mathrm{Keg}}\int_0^H \! h\cdot \mathrm{d}V(h) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{\pi R^2}{V_\mathrm{Keg}}\int_0^H \! h-\frac{2h^2}{H}+\frac{h^3}{H^2} \,\mathrm{d}h \end{eqnarray}$ , was sich nach WolframAlpha berechnet zu $\begin{eqnarray} h_S=\frac{\pi R^2H^2}{12V_\mathrm{Keg}}=\frac{\pi R^2H^2}{12\pi R^2H}=\frac{H}{12} \end{eqnarray}$ Edit: Ne, oder? Ich habe ganz am Ende die Volumenformel eines Zylinders genommen, oder?
21.12.2020, 20:59	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei $\begin{align} A(h) \end{align}$ muß es $\begin{align} R^2 \end{align}$ heißen. Du hast $\begin{align} R \end{align}$ geschrieben. Weiter unten bei der Massenmittelpunktsformel stimmt es dann. Und ich glaube, du hast einfach nur das $\begin{align} \frac{1}{3} \end{align}$ bei der Volumenformel für den Kegel vergessen. Ich finde die Rechnung eine Spur einfacher, wenn man die Spitze des Kegels in den Ursprung verlegt (bei der $\begin{align} z \end{align}$ -Achse als Rotationsachse). In diesem Fall ist $\begin{align} A(h) = \pi \frac{R^2}{H^2} h^2 \end{align}$ Natürlich ergibt sich für die z-Koordinate des Schwerpunkts dann $\begin{align} \frac{3}{4} H \end{align}$ .
21.12.2020, 21:04	Skytall	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, danke Leopold!

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