Trägheitsmoment eines Kegels

22.12.2020, 16:42

Skytall

Trägheitsmoment eines Kegels

Meine Frage:
Guten Abend,

es ist zwar eigentlich eine Physikaufgabe, aber mathematiklastig. Und zwar soll ich zwei Trägheitsmomente eines (geraden Kreis-)Kegels mit Radius $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ , Höhe $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ und homogener Dichteverteilung bestimmen. Einmal rotiert der Kegel um seine Symmetrieachse (a) und das andere Mal um eine Achse durch den Schwerpunkt senkrecht zur Symmetrieachse (b).

Der Mittelpunkt der Grundfläche liegt im Ursprung $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ und die Spitze in $\begin{eqnarray*} (0,0,H) \end{eqnarray*}$ :

[attach]52315[/attach]

Meine Ideen:
(a) habe ich ähnlich wie hier in kartesischen Koordinaten gelöst, indem ich von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ über infinitesimal dünne Zyklinderhüllen-Elemente $\begin{eqnarray*} \mathrm dV \end{eqnarray*}$ integriert habe.

Bei (b) bin ich jedoch völlig ratlos/ansatzlos.

22.12.2020, 20:15

Ehos

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Laut Formelsammlung lautet das Trägheitsmoment eines Vollkegels bei Drehung um die Symmetrieachse

$\begin{eqnarray*} T=\tfrac{3}{10}R^2m \end{eqnarray*}$

Allgemein ist das Trägheitsmoment eines beliebigen Körpers mit ortsabhängiger Dichterverteilung $\begin{eqnarray*} \rho (x,y,z) \end{eqnarray*}$ definiert definiert als

$\begin{eqnarray*} T=\int R^2\rho \,\,dV \end{eqnarray*}$

Speziell bei einem Vollkegel verwenden wir Zylinderkoordinaten mit folgendem bekannten Volumenelement $\begin{eqnarray*} dV=r\,\,d\phi\,dr\,dz \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ konstant ist, kann man es vor das Integral ziehen.

$\begin{eqnarray*} T=\rho \cdot \int_{z=0}^h\int_{r=0}^{\tfrac{R}{h}(h-z)}\int_{\phi=0}^{2\pi}r^3 \,\,d\phi\,dr\,dz \end{eqnarray*}$

Die obere Grenze des r-Integrals ergibt sich aus deiner Skizze, wo die rechte schräge Gerade der linearen Funktion $\begin{eqnarray*} z=-\tfrac{h}{R}r+h \end{eqnarray*}$ genügt - oder umgestellt $\begin{eqnarray*} r=\tfrac{R}{h}(h-z) \end{eqnarray*}$ . Die $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ -Integration liefert den Faktor $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ . Danach ergibt die r-Integration

$\begin{eqnarray*} T=2\pi \rho \cdot \int_{z=0}^h\int_{r=0}^{\tfrac{R}{h}(h-z)}r^3 \,\,dr\,dz=\tfrac{1}{4}\cdot 2\pi \rho \tfrac{R^4}{h^4}\cdot \int_{z=0}^h(h-z)^4 \,dz \end{eqnarray*}$

Die z-Integration liefert schließlich

$\begin{eqnarray*} T=\tfrac{1}{10}\pi \rho R^4 h \end{eqnarray*}$

Die Variable h ersetzen wir mit der bekannten Volumenformel des Kegels $\begin{eqnarray*} V=\tfrac{1}{3}R^2h \end{eqnarray*}$ woraus folgt $\begin{eqnarray*} h=\tfrac{3V}{R^2\pi} \end{eqnarray*}$ . Einsetzen liefert

$\begin{eqnarray*} T=\tfrac{1}{10}\pi \rho R^4 \underbrace{\tfrac{3V}{R^2\pi}}_h=\tfrac{3}{10}R^2\underbrace{V\rho}_m=\tfrac{3}{10}R^2m \end{eqnarray*}$

Damit ist die obige Formel aus der Formelsammlung bestätigt.

22.12.2020, 20:25

Skytall

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Danke Elvis.

$\begin{eqnarray*} \tfrac{3}{10}R^2m \end{eqnarray*}$ habe ich auch als Ergbenis bei der (a). Aber schön, den Lösungsweg auch in Zylinderkoordinaten zu sehen.

Wir hatten bisher weder in der Vorlesung noch im Tutorat Zyklinderkoordinaten angesprochen. Aber ich habe mich etwas eingelesen und käme damit glaube ich klar. Was ich damit sagen will: Bei der (b) fehlt mir weiter ein Ansatz unglücklich

Wenn die (b) aber mit Zylinderkoordinaten einfacher geht, hänge ich mich da gern rein.

Aber erstmal einen Ansatz haben... verwirrt

22.12.2020, 21:57

Elvis

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Ehos $\begin{eqnarray*} \ne \end{eqnarray*}$ Elvis

22.12.2020, 22:51

Ehos

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Eine direkte Integration ist schwierig, weil die Grenzen schwierig zu bestimmen sind. Deshalb geht man wie folgt vor:

Schritt 1:
Man schneidet den Kegel in deiner Skizze in Gedanken in viele differentiell dünne Kreisscheiben der Dicke dz, wobei jede einzelne Kreisscheibe den aktuellen Abstand z von der jeweiligen Drehachse hat.

Schritt 2:
Man berechnet allgemein das Trägheitsmoment einer Kreisscheibe der Dicke dz, welche sich um den eigenen Durchmesser dreht (Offenbar dreht sich die einzelne Scheibe des Kegels nicht um ihren Durchmesser. Trotzdem ist das ein notwendiger Zwischenschritt.).

Schritt 3:
Mit dem "Satz von Steiner" kann man das Trägheitsmoment derselben Kreisscheibe berechnen, die sich (als Teil des Kegels) im jeweiligen Abstand z befindet.

Schritt 4:
Man summiert alle in Schritte 3 mit dem Satz von Steiner berechneten Trägheitsmomente der einzelnen Kreisscheiben durch Integration über die Koordinate z und bekommt so das Trägheitsmoment des gesamten Kegels, der aus den Scheiben besteht.

23.12.2020, 13:11

Skytall

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Zitat:

Original von Elvis
Ehos $\begin{eqnarray*} \ne \end{eqnarray*}$ Elvis

Danke Ehos. Ich probiere es und melde mich spätestens morgen wieder. Da habe ich vormittags Bereitschaft, also viel Zeit für die Übungszettel Augenzwinkern

23.12.2020, 14:18

Skytall

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Habe mich doch jetzt schon drangesetzt und bin bis zu Schritt 2 gekommen:

Die Kreisscheibe in der Höhe $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ hat das Volumen $\begin{eqnarray*} d\mathrm V=\pi r^2(z)\,\mathrm dz = \pi \left(\frac{-R}{h}z+R\right)^2\,\mathrm dz = \pi R^2\left(1-\frac{2z}{h}+\frac{z^2}{h^2}\right)\mathrm dz \end{eqnarray*}$ .

Mit "um den eigenen Durchmesser drehen" meinst du das, oder?:
[attach]52322[/attach]

Oder das?:
[attach]52323[/attach]

$\begin{eqnarray*} I_{\mathrm dV} = \rho \int_{V} \vec{r}_{\perp}^2 \, \mathrm dV = \pi R^2\rho \int_{0}^{r(z)}\! 1-\frac{2z}{h}+\frac{z^2}{h^2}\, \mathrm dz \end{eqnarray*}$

Bevor ich falsch weiterrechne, bitte ich lieber erst um deine Rückmeldung smile

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