Lineare Abbildung, Additivität und Homogenität

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Hilfe2001 Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung, Additivität und Homogenität
Meine Frage:
Hallo zusammen ich habe hier eine Aufgabe bei der ich mir nicht sicher bin ob ich die Aufgabenstellung auch richtig erfüllt habe...

Die Aufgabe ist so aufgebaut
Seien V und W Vektorräume über Q und würde die Funktion f von der Menge V in die Menge W abbilden.
Zeigen Sie:
(1) Die Abbildung f ist genau dann linear, wenn die folgenden beiden Bedingungen
erfüllt sind:

(a) f(av1 + (1-a)v2) = af(v1) + (1-a)f(v2) für alle a Element von K, v1, v2 Element von V ,
(b) f(0) = 0.

(2) Erfüllt f die Bedingung (a) von Teil (1), und ist w ein Element von W, so erfüllt auch die
Abbildung g : V abgebildet in W, v (das Element V wird auf f(v) abgebildet) f(v) + w, die Bedingung (a).

(3) Erfüllt f die Bedingung (a), so gibt es eine lineare Abbildung g : V abgebildet in W und
ein (vektor) w ist ein Element von W mit f(v) = g(v) + w für alle v Element von V .

Hinweise zur Aufgabe sind
zu 1) Zeigen Sie zuerst, dass f(av)=af(v) für alle a Element aus K , v Element aus V(wählen Sie dafür Vektor v2 in Bedingung (a) geschickt.
Danach kann es vielleicht helfen, sich Bedingung (a)im Vektorraum R² geometrisch zu veranschaulichen. Was ist für Elemente v1 nicht gleich v2 und Element von R², die Menge (av1+(1-a)v2; a ist ein Element aus R?
Am Ende müssen Sie natürlich die Geometrie zurückübersetzen in einem allgemeinen Beweis.
Teile 2) und 3) haben beide eine kurze Lösung finden Sie in 3) zuerst die einzigen Möglichkeiten für (vektor) w und g und überprüfen Sie dann, dass die gewünschten Eigenschaften gelten.





Meine Ideen:
Das sind meine Ideen und Ansätze

Wir betrachten folgende Abbildung
f : V abgebildet in W f[v1,v2]( vektor):=av1+(1-a)v2
und zeigen dass diese linear ist.

2.Homogenität Für alle Elemente v Element aus V für alle Elemente Lambda Element aus K: f(Lambda*v)=Lambda*f(v)


Beweis:

Zunächst sind V und W Vektorräume über dem Körper Q .
Beweisschritt: Additivität nachweisen
1. Additivität Für alle Elemente v,w Element aus V : f(v+w)=f(v)+f(w)
Seien die Vektoren [v1,v2]; [w1,w2] Elemente aus V beliebig gewählt.
f [v1 , v2] (hoch t also Vektor) + [w1 , w2] (hoch t also Vektor)= f[v1+w1 , v2+w2] (hoch t also Vektor) = (a*(v1+w1)+(1-a)*(v2+w2))
=av1+aw1+(1-a)v2+(1-a)w2=(a*v1+(1-a)v2)+((a*w1+(1-a)w2=f(v)+f(w)
Damit ist die Additivität bewiesen

2.Homogenität Für alle Elemente v Element aus V für alle Elemente Lambda Element aus K= f(Lambda*v)=Lambda*f(v)

f(Lambda*v)=f*[Lamda*v1 , Lambda*v2](hoch t also Vektor)=Lambda*a*v1+(1-a)*Lambda*v2=Lambda*(a*v1+(1-a)v2)
=Lambda*f [v1 , v2] (hoch t also Vektor)
Damit ist die Homogenität bewiesen.
Damit ist gezeigt dass f tatsächlich linear ist.

b) Ich nehme an es ist f(0)nicht gleich(0) und f sei dennoch linear. f(0)=f((av1+(1-a)v2)-(av1+(1-a)v2))=f(av1+(1-a)v2)-f(av1+(1-a)v2)=0 und somit kann nicht f(0)nicht gleich 0 für f gelten wenn gleichsam auch f(av1 + (1?a)v2) = a*f(v1)+(1?a)*f(v2) gilt.


Ich habe die ganzen Hinweise erst im Nachhinein gesehen da sie nicht auf dem Arbeitsblatt sind und deshalb bin ich mir bei meinen Ergebnissen überhaupt nicht sicher.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr viel Arbeit, das ist löblich. Ziel nicht erreicht, das ist schade.
(Marcel Reich Ranicki hätte diese Kritik nicht schöner formulieren können.)
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

@Hilfe2001
In der Schulmathematik wird die Abbildung gemäß der Geradengleichung y=mx+n als "lineare Funktion" bezeichnet. Gemäß der obigen Definition ist diese Abbildung aber nicht linear. Warum?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Abbildung zwischen -Vektorräumen und ist genau dann linear, wenn sie homogen und additiv ist, d.h. .

In den Hinweisen steckt die Idee der Aufgabe, dass jede Abbildung zwischen -Vektorräumen und , die "Strecken" auf "Strecken" oder 0 und inbesondere "Strecken durch 0" auf "Strecken durch 0" oder 0 abbildet, auch "Geraden durch 0" auf "Geraden durch 0" oder 0 abbildet. Kann eine solche Abbildung nichtlinear sein ? Vermutlich nicht !

Beachte, dass Vektoren und nicht Komponenten aus eines Vektors sind. Da ist ein Verständnisfehler in deinem Beweisversuch enthalten.
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