Nullstellen von trigonometrischer Funktion berechnen

23.12.2020, 13:38

Mathman91

Nullstellen von trigonometrischer Funktion berechnen

Hallo an Alle,

ich hänge bei eine Beispiel fest:

$\begin{eqnarray*} f(x)=0,8*sin(1,5x-\pi) \end{eqnarray*}$

Ich habe das so gelöst:

$\begin{eqnarray*} f(x)=0,8*sin(1,5x-\pi)=0 \end{eqnarray*}$ /:0,8

$\begin{eqnarray*} f(x)=sin(1,5x-\pi)=0 \end{eqnarray*}$ /arcsin

arcsin(0) = 0

$\begin{eqnarray*} 1,5x-\pi=0 \end{eqnarray*}$

Nun schreibe ich folgendes:

$\begin{eqnarray*} 1,5x-\pi=k*\pi \end{eqnarray*}$ /+Pi

$\begin{eqnarray*} 1,5x=k*\pi+\pi \end{eqnarray*}$ /: 1,5

Meine Lösung:

$\begin{eqnarray*} x=\frac{k*\pi}{1,5}+\frac{\pi }{1,5} \end{eqnarray*}$

Wo liegt mein Fehler?

Schöne Weihnachten.

23.12.2020, 14:29

Leopold

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RE: Nullstellen von trigonometrischer Funktion berechnen
Im Ergebnis hast du keinen Fehler, sondern nur eine ungewöhnliche Art und Weise, die Lösungen zu schreiben. In der Herleitung sind, wenn man annimmt, daß untereinander stehende Aussagen äquivalent sein sollen, einige Zeilen seltsam bis nicht korrekt.

Ich würde die Lösungen in der Form

$\begin{align*} x = \frac{2}{3} k \pi \, , \ \ k \in \mathbb{Z} \end{align*}$

angeben. Dabei habe ich $\begin{align*} k+1 \end{align*}$ durch $\begin{align*} k \end{align*}$ substituiert.

Am besten geht man gleich von

Zitat:

Original von Mathman91
$\begin{eqnarray*} f(x)=0,8*sin(1,5x-\pi)=0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Mathman91
$\begin{eqnarray*} 1,5x-\pi=k*\pi \end{eqnarray*}$ /+Pi

Dann stimmt alles.

Da eine Verschiebung um $\begin{align*} \pi \end{align*}$ bei Sinusgraphen nichts ändert, könnte man gleich

$\begin{align*} 1{,}5x = k \pi \end{align*}$

schreiben. Dann kommt man auch unmittelbar auf das von mir angegebene Ergebnis.

Viele Kleinigkeiten sind in deinen Aufschrieben von der Logik her nicht sauber.

Zitat:

Original von Mathman91
$\begin{eqnarray*} f(x)=0,8*sin(1,5x-\pi)=0 \end{eqnarray*}$ /:0,8

$\begin{eqnarray*} f(x)=sin(1,5x-\pi)=0 \end{eqnarray*}$

Wenn du schon $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ unnötigerweise mitschleppst, dann mußt du auch $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ durch 0,8 teilen, sonst ist das erste Gleichheitszeichen in der zweiten Zeile falsch.

Zitat:

Original von Mathman91
$\begin{eqnarray*} f(x)=sin(1,5x-\pi)=0 \end{eqnarray*}$ /arcsin

arcsin(0) = 0

$\begin{eqnarray*} 1,5x-\pi=0 \end{eqnarray*}$

Auch wenn es dir schwerfällt zu glauben: Der Sinus besitzt keine Umkehrfunktion. Du willst da mit /arcsin so etwas Ähnliches herzaubern. Aber du bist an globalen Lösungen interessiert, das heißt $\begin{align*} x \in \mathbb{R} \end{align*}$ . Da für $\begin{align*} x \end{align*}$ keinerlei Einschränkungen gemacht werden, kannst du auch nicht durch die Angabe von /arcsin so tun, als würde diese globale Umkehrfunktion existieren. Du überträgst da etwas, was du aus der Mittelstufe der Schule kennst ("auf beiden Seiten das und das tun") auf eine Situation, in der so etwas schlicht nicht geht.
(Zudem ist die Zeile arcsin(0) = 0 störend. Das ist eine Nebenrechnung, die aber in den Zeilen äquivalenter Aussagen nichts verloren hat.)

Ich säubere einmal deinen Aufschrieb von all diesen Ungereimtheiten. Dann sähe das so aus:

$\begin{align*} f(x) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} 0{,}8 \sin \left( 1{,}5x - \pi \right) = 0 \ \ | \, : 0{,}8 \end{align*}$

$\begin{align*} \sin \left( 1{,}5x - \pi\right) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} 1{,}5x - \pi = \arcsin(0) + k \pi \, , \ \ k \in \mathbb{Z} \ \ \ | \, + \pi \ \quad \text{(Nebenrechnung:} \ \arcsin(0) = 0 \text{)} \end{align*}$

$\begin{align*} 1{,}5x = k \pi + \pi \, , \ \ k \in \mathbb{Z} \end{align*}$

$\begin{align*} 1{,}5x = (k+1) \pi \, , \ \ k \in \mathbb{Z} \ \ \ | \, \cdot \frac{2}{3} \end{align*}$

$\begin{align*} x = \frac{2}{3} (k+1) \pi \, , \ \ k \in \mathbb{Z} \end{align*}$

Da mit $\begin{align*} k \end{align*}$ auch $\begin{align*} k+1 \end{align*}$ alle ganzen Zahlen durchläuft, kann man am Ende der Rechnung $\begin{align*} k+1 \end{align*}$ durch $\begin{align*} k \end{align*}$ substituieren.

Ich für mich würde nur das Folgende aufschreiben (die Kommentare sind für dich bestimmt und gehören nicht zum Aufschrieb des Lösungswegs):

$\begin{align*} f(x) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} \sin \left( 1{,}5x - \pi \right) = 0 \end{align*}$ (für ein Nullprodukt ist ein konstanter Faktor, hier 0,8, unerheblich)

$\begin{align*} \sin \left( 1{,}5x \right) = 0 \end{align*}$ (eine Verschiebung um $\begin{align*} \pi \end{align*}$ ändert die Sinus-Nullstellen nicht)

$\begin{align*} \frac{3}{2} x = k \pi \, , \ \ k \in \mathbb{Z} \end{align*}$ (Brüche zeigen klarer, was Sache ist, Division durch 3/2 ist dasselbe wie Multiplikation mit 2/3)

$\begin{align*} x = \frac{2}{3} k \pi \, , \ \ k \in \mathbb{Z} \end{align*}$

23.12.2020, 16:17

Mathman91

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O.K., dann war meine Lösung doch Richtig, nur halt nicht so schön aufgeschrieben wie deine.
Danke für deine Erläuterung.

SG

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