Anzahlformel?

25.12.2020, 20:36

Dopap

Anzahlformel?

kennt jemand die Bedeutung von

$\begin{eqnarray*} \prod_{j=1}^{\lceil m/2\rceil }\prod_{k=1}^{\lceil n/2\rceil } \left( 4 \cos^2\left(\frac{j\rm \pi}{m+1}\right)+ 4 \cos^2\left(\frac {k\pi}{n+1}\right)\right) \end{eqnarray*}$

26.12.2020, 10:41

Leopold

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RE: Anzahlformel?

Zitat:

Original von Dopap
kennt jemand die Bedeutung

Ja, du kennst die. Interessant, was du da wieder aufgegabelt hast. Nennen wir für $\begin{align*} m,n \geq 0 \end{align*}$ diesen Produktwert mal $\begin{align*} p_{m,n} \end{align*}$ , so gelten

$\begin{align*} \left( p_{0,n} \right)_{n \geq 0} = \left( 1,1,1,1,\ldots \right) \end{align*}$

$\begin{align*} \left( p_{1,n} \right)_{n \geq 0} = \left( 1,0,1,0,\ldots \right) \end{align*}$

$\begin{align*} \left( p_{2,n} \right)_{n \geq 0} = \left( \operatorname{fib}(n) \right)_{n \geq 0} = \left( 1,1,2,3,5,8,\ldots \right) \end{align*}$

Der Rest bleibt dem Interessierten als Übungsaufgabe überlassen.

26.12.2020, 13:40

G261220

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RE: Anzahlformel?
Mich würde nur das Ergebnis interessieren.
Nachvollziehen kann ich als Nicht-Profi das ohnehin nicht.

Kommt so etwas irgendwo im Leben vor. Oder sind das nur math. Spielereien?

27.12.2020, 18:05

Dopap

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@Gxxxxxx
Praktischer Zweck in Mathematik? Wer weiß?
Oft haben Entdeckungen erst viel später eine praktische Anwendund, z.B. die asymmetrische Verschlüsselung RSA von 1977.
Von der Spieltheorie fanden sich einige Ideen sich in der Wirtschaftstheorie wieder und es gab es auch einen Nobelpreis.

Nach etwas Recherche geht es mMn um Parkettierung von Rechtecken mit Rechtecken ( 2:1 Verhältnis), oder mit Dominosteinen im Kleinen.
Eine stupide aber ungültige Belegung ist zum Beispiel:

[attach]52330[/attach]

Auf wieviel Arten kann man ein passendes Schachbrett m=8,n=8 mit 32 Dominosteinen komplett belegen?

Das geht mit der Formel direkt. Da wo keine Belegung möglich ist liefert die Formel Null!
Die erste Zeile ist die Fibonacci-Folge $\begin{eqnarray*} (p_{2.n})_{n\geq2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{|c|c|c |c |c|c|c|c|} m\Bigg \backslash n & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 &7 & 8\\ \hline 2 & 2 & 3 & 5 & 8 & 13 & 21& 34 \\ 3 & & 0 & 11 & 0 & 41 & 0 & 153 \\ 4 & & & 36 & 95 &281 &781 & 2243 \\ 5 & & & & 0 & 1183 & 0& 14824 \\ 6& & & & & 6728&31529 & 167089 \\ 7 & & & & & &0 & 1 292 697 \\ 8 & & & & & & & 12988816<br /> \end{array} \end{eqnarray*}$

alles mit dem Taschenrechner berechnet. :-)

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