2 kleine Kreise im Viertelkreis

27.12.2020, 17:19

MF5753

2 kleine Kreise im Viertelkreis

Meine Frage:
In einem Viertelkreis mit dem Radius R sind 2 kleine, sich berührende Kreise, eingefügt. Welcher Radius r haben die beiden Kreise? Trigonometrische Formeln sind zur Lösung nicht zugelassen.

Meine Ideen:
Mit den Strahlensätzen komme ich kein Schritt weiter.

27.12.2020, 19:40

Elvis

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Da tritt der Radius r schon mehrmals auf (genauer : 8 mal).

27.12.2020, 21:20

MF5753

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Vielen Dank für die gute Zeichnung. Aber soweit war ich auch, sehe aber kein Land in Sicht. Welchen Ansatz muss ich denn machen? Trigonometrische Formeln sollen ja außen vor bleiben, sonst wäre die Lösung kein Problem.

27.12.2020, 22:13

Leopold

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[attach]52333[/attach]
Im grünen Dreieck ist die Hypotenuse $\begin{align*} R-r \end{align*}$ und die kurze Kathete $\begin{align*} r \end{align*}$ , die lange Kathete sei $\begin{align*} x \end{align*}$ . Der Satz des Pythagoras liefert

$\begin{align*} x^2 = (R-r)^2 - r^2 \end{align*}$

Das gelbe Dreieck besitzt den Flächeninhalt $\begin{align*} rx \end{align*}$ (blaue Strecken). Diesen kann man aber auch mit den roten Strecken als Grundseite und Höhe errechnen, und zwar zu $\begin{align*} \frac{1}{2} (R-r) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} (R-r) \end{align*}$ . (Beachte, daß das durch die rote Höhe bestimmte größere Teildreieck gleichschenklig-rechtwinklig ist.) Es folgt

$\begin{align*} rx = \frac{1}{2 \sqrt{2}} (R-r)^2 \end{align*}$

Nach Quadrieren dieser Gleichung kannst du $\begin{align*} x^2 \end{align*}$ gemäß der Gleichung oben ersetzen und erhältst so eine Gleichung für $\begin{align*} r \end{align*}$ in Abhängigkeit von $\begin{align*} R \end{align*}$ . Um diese Gleichung zu lösen, empfiehlt es sich, die Differenzen $\begin{align*} R-r \end{align*}$ zu substituieren: $\begin{align*} R-r = t \end{align*}$ , und die Gleichung zunächst nach $\begin{align*} t \end{align*}$ aufzulösen.

27.12.2020, 22:14

Elvis

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Ganz elementar geht es auch...
$\begin{eqnarray*} r^2 +x^2 =y^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y+r=R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2=2rx-r^2 +(x-r) ^2 \end{eqnarray*}$
... soweit warst du bestimmt auch schon.

Hoffentlich kommt das gleiche heraus wie bei Leopold.

Nachtrag : Meine dritte Gleichung hat mir gut gefallen, ergibt aber nur $\begin{eqnarray*} x^2 =x^2 \end{eqnarray*}$ unglücklich

27.12.2020, 22:41

Leopold

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Zitat:

Original von Elvis
Ganz elementar geht es auch...
$\begin{eqnarray*} r^2 +x^2 =y^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y+r=R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2=2rx-r^2 +(x-r) ^2 \end{eqnarray*}$
... soweit warst du bestimmt auch schon.

Hoffentlich kommt das gleiche heraus wie bei Leopold.

Nachtrag : Meine dritte Gleichung hat mir gut gefallen, ergibt aber nur $\begin{eqnarray*} x^2 =x^2 \end{eqnarray*}$ unglücklich

Deine letzte Gleichung ist äquivalent zu $\begin{align*} x=r \end{align*}$ .

27.12.2020, 22:52

Elvis

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Schade, vielleicht ist besser
$\begin{eqnarray*} x^2 =2rx+\frac {(x-r) ^2} 2 \end{eqnarray*}$

28.12.2020, 01:49

Gualtiero

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Elvis, genau das bekomme ich für x auch. Meine Überlegung:

[attach]52334[/attach]

Die Diagonale des markierten Quadrats ist 2r, daher ist seine Seite $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}r \end{eqnarray*}$ , und x ist, wie aus der Zeichung ersichtlich, $\begin{eqnarray*} r+\sqrt{2}r \end{eqnarray*}$

Das habe ich hier

Zitat:

Original von Leopold

$\begin{align*} x^2 = (R-r)^2 - r^2 \end{align*}$

eingesetzt und schließlich eine quadratische Gleichung gelöst. Der Rechenweg dürfte gleich lang sein.

28.12.2020, 07:12

Elvis

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Danke, meine Überlegung ist noch einfacher, denn das Quadrat x*x ist aus 4 kongruenten Dreiecken und dem Dreieck oben rechts zusammengesetzt.

28.12.2020, 08:42

MF5753

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Vielen Dank an die Hinweisgeber. Jetzt ist die Sache zielführend. Tolle Gedankengänge konnte ich verfolgen. Werde im Laufe des Tages mal rechnen.

28.12.2020, 12:10

rumar

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RE: 2 kleine Kreise im Viertelkreis

Zitat:

In einem Viertelkreis mit dem Radius R sind 2 kleine, sich berührende Kreise, eingefügt. Welchen Radius r haben die beiden Kreise?

Dass die beiden kleinen Kreise denselben Radius haben sollen, wird erst im zweiten Satz klar.
Wie wäre es denn, wenn die beiden kleinen Kreise auch unterschiedlich groß sein dürften ?
Ich denke, das dürfte eine nette Aufgabe zum Jahreswechsel werden:

[attach]52335[/attach]

Einem Viertelkreis vom Radius R (wir können z.B. R:=1 setzen) werden wie in der Zeichnung zwei kleine Kreise $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k_2 \end{eqnarray*}$ der Radien u und v einbeschrieben. Welche Beziehung muss zwischen den Radien u und v bestehen, damit dies passt ?
Ziel sollte sein, die Beziehung in möglichst einfacher Form darzustellen - allenfalls sogar in einer Form der Art v = f(u) .
Gibt es vielleicht irgendwelche "schönen" (rationalen) Lösungen ?

28.12.2020, 13:29

MF5753

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Vielen Dank.

28.12.2020, 13:34

MF5753

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$\begin{eqnarray*} r=R\frac{\sqrt{4+2\sqrt{2} } -1}{3+2\sqrt{2} } =0,2768R \end{eqnarray*}$

28.12.2020, 13:49

Leopold

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RE: 2 kleine Kreise im Viertelkreis

Zitat:

Original von rumar
Gibt es vielleicht irgendwelche "schönen" (rationalen) Lösungen ?

$\begin{align*} u = \frac{9}{50} \, , \ \ v = \frac{400}{1089} \end{align*}$

28.12.2020, 13:51

Leopold

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Zitat:

Original von MF5753
$\begin{eqnarray*} r=R\frac{\sqrt{4+2\sqrt{2} } -1}{3+2\sqrt{2} } =0,2768R \end{eqnarray*}$

Die verbotene Trigonometrie bestätigt das:

$\begin{align*} r = R \cdot \frac{\sin \frac{\pi}{8}}{1+ \sin \frac{\pi}{8}} \end{align*}$

28.12.2020, 14:16

Elvis

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Zitat:

Original von MF5753
$\begin{eqnarray*} r=R\frac{\sqrt{4+2\sqrt{2} } -1}{3+2\sqrt{2} } =0,2768R \end{eqnarray*}$

Solange man mit diesen exakten und wunderschönen Wurzelausdrücken arbeitet ist das Gleichheitszeichen berechtigt, mit Dezimalzahlen ist das nur ungefähr gleich. Pythagoras ist doch immer wieder nützlich, und quadratische Gleichungen können wir heute "problemlos" lösen (ich verrechne mich gerne dabei, habe aber nach drei Versuchen heute vormittag genau die gleiche Lösung wie du gefunden).

28.12.2020, 15:09

rumar

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RE: 2 kleine Kreise im Viertelkreis
@Leopold:

Wahnsinn ! (rationale Lösung)

Wie hast du jetzt das so schnell geschafft ?

28.12.2020, 15:11

Leopold

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RE: 2 kleine Kreise im Viertelkreis

Zitat:

Original von rumar
Gibt es vielleicht irgendwelche "schönen" (rationalen) Lösungen ?

Extremallösung:

$\begin{align*} u = \sqrt{2} - 1 \, , \ \ v = \frac{1}{49} \left( 5 \sqrt{2} - 1 \right) \end{align*}$

28.12.2020, 15:23

mYthos

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@Elvis
Mit $\begin{eqnarray*} \frac 1 { 3 + 2 \sqrt 2)} = 3 - 2 \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ wird die Sache (ohne die Wurzel im Nenner) angenehmer. Dann ist - bruchfrei -

$\begin{eqnarray*} r_{1,(2)} = R \left( -3 + 2 \sqrt 2 +\sqrt {20 - 14\sqrt 2}\right) \end{eqnarray*}$

mY+

28.12.2020, 16:58

MF5753

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@Elvis: hier mein Lösungsweg

28.12.2020, 23:08

hawe

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Ich hab mal versucht GeoGebra CAS anzuwenden.

Ich setz einen Vektor für den Mittelpunkt des 1.Kreises Radius x1
M1=(x1,y1)
und verlängere den mit Faktor t bis zum Kreis R
{(t M1)^2=R^2,
die Entfernung beider Punkte soll gleich Radius x1 sein
(M1-t M1)^2=x1^2}
===> $\begin{eqnarray*} M1:=\left(x1, \sqrt{R^{2} - 2 \; R \; x1} \right) \end{eqnarray*}$
Das gleiche für Kreis Mittelpunkt M2=(x2,y2) mit Radius y2 von M2
===> $\begin{eqnarray*} M2:=\left(x2, \frac{R^{2} - x2^{2}}{2 \; R} \right) \end{eqnarray*}$

Jetzt bringe ich die beiden zusammen mit einem Pythagoras des Steigungsdreiecks von M1,M2

{dx(M_2-M_1)^2+dy(M_1-M_2)^2=(dx(M1)+dy(M2))^2

$\begin{eqnarray*} \left(x2 - x1 \right)^{2} + \left(\sqrt{R^{2} - 2 \; R \; x1} - \frac{R^{2} - x2^{2}}{2 \; R} \right)^{2} = \left(x1 + \frac{R^{2} - x2^{2}}{2 \; R} \right)^{2} \end{eqnarray*}$

das Monster aufgelöst (das CAS hat zu tun)

$\begin{eqnarray*} x2 = \frac{2 \; R \; \sqrt{x1 \; \sqrt{R^{2} - 2 \; x1 \; R} + x1^{2}} + x1 \; R}{\sqrt{R^{2} - 2 \; x1 \; R} + R + x1} \end{eqnarray*}$

Über die Stellschraube x1 (Radius Kreis M1) sollte damit der Kreis M2 ein gepasst werden:

[attach]52338[/attach]

29.12.2020, 10:45

riwe

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mein "hübschester" Wert wäre

$\begin{eqnarray*} r=R\cdot \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2+\sqrt{2-\sqrt{2}}} \end{eqnarray*}$

wäre lustig, die verschiedenen Werte ineinander über zu führen Augenzwinkern

edit: konstruieren läßt sich das Zeugs sehr einfach (und ganz ohne "Stellschrauben" smile

)

29.12.2020, 15:55

Gualtiero

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Mich interessiert nur der Rechenvorgang der herkömmlichen Art, weil ich auch gar kein GeoGebra habe. Ich staune aber schon, was das Ding alles leistet.

In der Zeichnung von hawe sind zwei Kurven zu sehen, auf die bin ich auch gleich gestoßen. Auf diesen Kurven nur können die Mittelpunkte der Kreise liegen:

$\begin{eqnarray*} y=\sqrt{1-2v},\,\,\,\ u=\frac{1-x^2}{2} \end{eqnarray*}$

[attach]52344[/attach]

Für $\begin{eqnarray*} M_1\left(v; \sqrt{1-2v}\right) \end{eqnarray*}$ kommt nur der Bereich $\begin{eqnarray*} 0<v\leq (\sqrt{2}-1) \end{eqnarray*}$ in Frage,

für $\begin{eqnarray*} M_2= \left(x; \frac{1-x^2}{2}\right) \end{eqnarray*}$ nur $\begin{eqnarray*} \left(\sqrt{2}-1\right)\leq x <1 \end{eqnarray*}$ .

Die Distanz zwischen den zwei Mittelpunken, wenn die Kreise richtig positioniert sind, ist immer (v + u).
Damit habe ich x berechnet, in $\begin{eqnarray*} \frac{1-x^2}{2} \end{eqnarray*}$ eingesetzt und so M2 erhalten.

An der Abhängigkeit u von v als Funktion grüble ich noch.

29.12.2020, 17:29

Leopold

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Du kannst in hawes Beitrag $\begin{align*} x_1 \end{align*}$ durch $\begin{align*} v \end{align*}$ ersetzen und $\begin{align*} R=1 \end{align*}$ annehmen. Über seine Formel für $\begin{align*} x_2 \end{align*}$ kannst du $\begin{align*} u \end{align*}$ in Abhängigkeit von $\begin{align*} v \end{align*}$ ausdrücken. Der Satz des Pythagoras liefert nämlich

$\begin{align*} {x_2}^2 + u^2 = (1-u)^2 \end{align*}$

Diese Gleichung ist nach Wegheben des quadratischen Gliedes linear in $\begin{align*} u \end{align*}$ .

29.12.2020, 19:07

Gualtiero

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Danke Leopold, hab das alles berücksichtigt. Bloß meine Lösung kommt mir so umständlich vor. verwirrt

Mein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist der x-Wert von M2.

Die quadratische Gleichung lautet: $\begin{eqnarray*} \left(1+v+\sqrt{1-2v} \right)x^2-2vx+1-3v-\sqrt{1-2v}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\frac{v}{\left(1+v+\sqrt{1-2v}\right)} \pm \sqrt{\frac{v^2-\left(1+v+\sqrt{1-2v}\right) \cdot \left(1-3v-\sqrt{1-2v} \right)}{\left(1+v+\sqrt{1-2v}\right)^2}} \end{eqnarray*}$

Das in die Definition der zweiten Kurve

$\begin{eqnarray*} \frac{1-x^2}{2} \end{eqnarray*}$

eingesetzt ergibt $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$

29.12.2020, 19:51

rumar

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RE: 2 kleine Kreise im Viertelkreis
Für die Beziehung zwischen u und v habe ich diese Gleichung gefunden:

$\begin{eqnarray*} u \sqrt{1-2v} + v \sqrt{1-2u} +u+v+ u v = 1 \end{eqnarray*}$

So ziemlich verrückterweise schafft es Wolfram Alpha sogar, diese Gleichung nach v aufzulösen:

Eingabe in Wolfram Alpha Eingabezeile:

solve u sqrt(1-2v)+v sqrt(1-2u)+u+v+u v=1, v

Das Ergebnis ist, sagen wir mal, "ehrfurchterregend" ...
(Ehrfurcht vor den Fähigkeiten der heutigen Computeralgebra)

[attach]52346[/attach]

29.12.2020, 20:43

hawe

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Dann geb ich auch meinen Senf dazu

Wenn ich meine Formel (1) auf die Variablen von Gualtiero umschreibe (2) dann stimmen wir erstmal überein - gut.
Das CAS auf die Mitternachtsformel angesetzt kommt auf die Formel (3) wie in meinem ersten Beitrag. Also übernehme ich die Gualtiero Lösung (4) und setze v=0.277, die Konstruktion mit 2 gleich großen Kreisen was meine Formel (5) richtig mit 0.669 berechnet.

Gualtiero (0.398) Du hast also irgendwo den Wurm drin - vielleicht doch mal mit CAS und sei es blos zur Kontrolle ;-)

Edit: Formel korrigiert - beide Versionen liefern gleiche Ergebnisse!

[attach]52350[/attach]

29.12.2020, 21:44

Gualtiero

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@hawe, in Deinem Ausdruck in Zeile 4 sollte ja meine Lösung stehen.
Mir fällt auf, dass im zweiten Bruch nur der Zähler unter der Wurzel steht und NICHT der Nenner, zumindest sieht es so aus.

Jedenfalls habe ich mit v=0,27676865391 . . . gerechnet (TR, hab kein CAS) und habe für x 0,6681786379 . . . bekommen. Das sollte aber stimmen.
Die zweite Lösung ist ja negativ und entfällt.

Was bedeutet also {0.398 0.669} in dem Ausdruck?

29.12.2020, 21:56

rumar

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RE: 2 kleine Kreise im Viertelkreis
Hallo zusammen !

Möglicherweise überblicke ich gar nicht mehr genau, wer denn nun
eigentlich meiner Idee mit den zwei unterschiedlich großen Kreisen
gefolgt ist und was ich mit diesem Gedanken angeregt habe.
Meine Frage war aber eigentlich zunächst nur, welche Beziehung
zwischen den beiden Kreisradien u und v bestehen müsse.
Für meinen Lösungsweg habe ich mir dann einfach mal das
rechtwinklige "Stützdreieck" UVW vorgenommen, wobei U und V
die Mittelpunkte der beiden Kreise mit den Radien u und v sind und
W der Dreieckspunkt mit dem rechten Winkel. Die Seitenlängen
dieses Dreiecks lassen sich mittels u,v und R ausdrücken (wobei ich
wie schon gesagt mit R=1 arbeiten wollte).
Schon für diese Vorarbeit setzt man natürlich den Satz von Pythagoras
ein, und dann wird dieser auch auf das Dreieck UVW angewandt.
Das wird dann etwas unangenehm und mühsam, aber wenn man sich
da durchackert, vereinfacht sich einiges wieder, und man kann
schließlich auf diese Gleichung kommen:

$\begin{eqnarray*} \qquad u \sqrt{1-2v} + v \sqrt{1-2u} + u + v + u \cdot v = 1 \end{eqnarray*}$

Die Bestätigung, dass ich damit wohl richtig lag, lieferte mir Leopold
mit seinem rationalen Lösungspaar mit $\begin{eqnarray*} u\ =\ \frac{9}{50} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v\ =\ \frac{400}{1089} \end{eqnarray*}$
Wie er dieses Lösungspaar gefunden hat, hat er mir leider bisher noch
nicht mitgeteilt ...

Dass das CAS von Wolfram Alpha die Gleichung tatsächlich auflösen
kann, hat mich wirklich etwas überrascht.

29.12.2020, 22:26

hawe

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Hm,

der Wurm war bei mir drin :-(

(4) da hab ich im Nenner ein Quadrat zuviel stehen lassen und auch eine Klammer unter der Wurzel zuviel - stimmt, wir gehen also von

$\begin{eqnarray*} \frac{v}{1 + v + \sqrt{1 - 2 \; v}} + \sqrt{\frac{v^{2} - \left(1 + v + \sqrt{1 - 2 \; v} \right) \; \left(1 - 3 \; v - \sqrt{1 - 2 \; v} \right)}{\left(1 + v + \sqrt{1 - 2 \; v} \right)^{2}}} \end{eqnarray*}$

aus

In (5) {Substitute($4,v = 0.2767686539), Substitute($3,v = 0.277)}
ersetze ich zuerst v durch 0.276... in Zeile 4 und erhalte auch dein Ergebnis 0.6681786379131 aus der Deiner Formel (4) und dann ersetze ich v=0.277 in Zeile 3 (Meine Formel) und erhalte 0.669. Das passt dann zusammen.

Ich ersetze das Bild im oberen Beitrag durch die richtiggestellte Formel...

30.12.2020, 10:29

Gualtiero

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Zitat:

Original von rumar
Möglicherweise überblicke ich gar nicht mehr genau, wer denn nun eigentlich meiner Idee mit den zwei unterschiedlich großen Kreisen gefolgt ist und was ich mit diesem Gedanken angeregt habe.
Meine Frage war aber eigentlich zunächst nur, welche Beziehung zwischen den beiden Kreisradien u und v bestehen müsse.

Bin nach wie vor dran.

Ich gehe davon aus, dass meine Formel richtig ist und nehme nur die positive Lösung:

$\begin{eqnarray*} x=\frac{v}{\left(1+v+\sqrt{1-2v}\right)} + \sqrt{\frac{v^2-\left(1+v+\sqrt{1-2v}\right) \cdot \left(1-3v-\sqrt{1-2v} \right)}{\left(1+v+\sqrt{1-2v}\right)^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u= \frac{1-x^2}{2}= \frac 1 2 - \frac{\left[v+\sqrt{v^2-\left(1+v+\sqrt{1-2v}\right) \cdot \left(1-3v-\sqrt{1-2v} \right)}\right]^2}{2 \cdot \left(1+v+\sqrt{1-2v}\right)^2} \end{eqnarray*}$

Dass man das noch vereinfachen kann, glaube ich nicht.

30.12.2020, 12:04

rumar

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Hallo Gualtiero

Um deine Formel zu überprüfen, würde ich mal einen numerischen Test durchführen. Sollte für den Wert $\begin{eqnarray*} v\ =\ 0.18 \end{eqnarray*}$ tatsächlich der Wert $\begin{eqnarray*} u\ =\ \frac{400}{1089} \ =\ \left(\frac{20}{33} \right)^2 \end{eqnarray*}$ resultieren, dann wäre das ein sehr gutes Indiz für die Richtigkeit.
Im Moment sind gerade die Akkus meines CAS-Rechners am Aufladegerät, weshalb ich diese Probe noch etwas aufschieben muss ...

Habe es inzwischen auch ohne CAS-Hilfe (dafür mit etwas Kopfrechnen und Notizzettel) geschafft. Und: es stimmt !

30.12.2020, 12:30

Gualtiero

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Ich denke, das haut hin. smile

0.18 eingesetzt ergibt x = 0.51 periodisch = 17/33.

Das eingesetzt in $\begin{eqnarray*} \frac{1-x^2}{2} \end{eqnarray*}$ ergibt $\begin{eqnarray*} \frac{400}{1089} \end{eqnarray*}$ .

30.12.2020, 13:08

Leopold

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Wenn man diesen Weg verfolgt:

Zitat:

Original von Leopold
Du kannst in hawes Beitrag $\begin{align*} x_1 \end{align*}$ durch $\begin{align*} v \end{align*}$ ersetzen und $\begin{align*} R=1 \end{align*}$ annehmen. Über seine Formel für $\begin{align*} x_2 \end{align*}$ kannst du $\begin{align*} u \end{align*}$ in Abhängigkeit von $\begin{align*} v \end{align*}$ ausdrücken. Der Satz des Pythagoras liefert nämlich

$\begin{align*} {x_2}^2 + u^2 = (1-u)^2 \end{align*}$

Diese Gleichung ist nach Wegheben des quadratischen Gliedes linear in $\begin{align*} u \end{align*}$ .

erhält man

$\begin{align*} u = \frac{1}{2} \left( 1 - \left( \frac{v + 2 \sqrt{v^2 + v \sqrt{1-2v}}}{1 + v + \sqrt{1-2v}} \right)^2 \right) \end{align*}$

Gualtiero hatte

$\begin{align*} u = \frac{1}{2} - \frac{\left( v + \sqrt{v^2 - \left( 1 + v + \sqrt{1-2v} \right) \left( 1 - 3v - \sqrt{1-2v} \right)} \right)^2}{2 \left( 1 + v + \sqrt{1-2v} \right)^2} \end{align*}$

Ein Vergleich der Formeln läuft auf den Nachweis der Identität

$\begin{align*} 2 \sqrt{v^2 + v \sqrt{1-2v}} = \sqrt{v^2 - \left( 1 + v + \sqrt{1-2v} \right) \left( 1 - 3v - \sqrt{1-2v} \right)} \end{align*}$

hinaus. Am besten beginnt man rechts und multipliziert die Klammern aus. Dann steht es im wesentlichen auch schon da.

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