Orthogonale Polynome, Gauß-Quadraturformel, Christoffel-Darboux-Identität

28.12.2020, 10:45	Momentenfunktional	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonale Polynome, Gauß-Quadraturformel, Christoffel-Darboux-Identität Meine Frage: Guten Tag, ich belege aktuell einen Kurs über orthogonale Polynome und ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter. Es ist eine Aussage über die Konvergenz von Jacobi-Brüchen im positiv definiten Fall. Ich habe eine folgendes gegeben: $\begin{eqnarray} c_{n} \in \mathbb R ;\lambda _{n}>0 ,n\geq 1 \end{eqnarray}$ Ich soll folgende Formel zeigen: $\begin{eqnarray} \frac{\lambda _{1}\cdot Q_{n-1}\left(x\right) }{P_{n}\left(x\right) } = \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{A_{nk} }{x-x_{nk} } = \int_{-\infty }^{\infty } \! \frac{d\Psi_{n}\left(t\right) }{x-t} \, \end{eqnarray}$ . Hierbei ist Q(x) ein monisches Zählerpolynom vom Grad n-1 und P(x) ein monisches Nennerpolynom vom Grad n, $\begin{eqnarray} A_{nk} \end{eqnarray}$ ist der Koeffizient in der Gauß-Quadraturformel in Bezug auf die Nullstelle $\begin{eqnarray} x_{nk} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \Psi_n \end{eqnarray}$ ist die Verteilungsfunktion mit Sprung $\begin{eqnarray} A_{nk} \end{eqnarray}$ im Punkt $\begin{eqnarray} x_{nk} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich bin bei dem Beweis bis zu dem Punkt gekommen, dass ich folgendes habe: $\begin{eqnarray} \frac{\lambda _{1}\cdot Q_{n-1}\left(x\right) }{P_{n}\left(x\right) } = \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{a_{nk} }{x-x_{nk} } \end{eqnarray}$ und mein $\begin{eqnarray} a_{nk} \end{eqnarray}$ hat folgende Gestalt: $\begin{eqnarray} a_{nk} = -\frac{\lambda_{1}\cdot \lambda _{2}\cdot ...\cdot \lambda _{n+1} }{P_{n+1}\left(x_{nk} \right)\cdot P'_{n}\left(x_{nk} \right) } \end{eqnarray}$ . Nun soll ich die Christoffel-Darboux-Identität nutzen um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} a_{nk} = A_{nk} \end{eqnarray}$ . Dies will mir allerdings nicht richtig gelingen. Die Identität ist ja folgende: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{P_{k}\left(x\right)\cdot P_{k}\left(u\right) }{\lambda_{1}\cdot ... \cdot \lambda _{k+1} } = \left(\lambda_{1}\cdot ... \cdot \lambda _{n+1}\right)^{-1}\cdot \frac{P_{n+1}\left(x\right)\cdot P_{n} \left(u\right)-P_{n}\left(x\right)\cdot P_{n+1}\left(u\right) }{x-u} \end{eqnarray}$ . Wenn ich jetzt $\begin{eqnarray} x = x_{nk} \end{eqnarray}$ setzte, dann wird $\begin{eqnarray} P_{n}\left(x_{nk} \right) = 0 \end{eqnarray}$ und es wäre etwas vereinfacht. Weiter komme ich allerdings nicht. Der Schritt von der Summe zum Integral hin ist dann wieder klar. Ich komme einzig nicht weiter die Identität anzuwenden. Ergänzugen: Es handelt sich um das Buch "An Introduction to Orthogonal Polynomials, Gordon and Breach, 2. Auflage, 1978" von Chihara Ich hoffe es gibt hier einen Experten auf dem Gebiet! MFG

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