Bestimmen der Fälle (Faltung) Signalverarbeitung

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Gast006 Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmen der Fälle (Faltung) Signalverarbeitung
Meine Frage:
In einem meiner Kurse haben wir das Thema Faltung für deterministische kontinuierliche Signale im Zeitbereich.

Dort kommt es ja ab einem Punkt zur Spiegelung an der Ordinate und Verschiebung um t nach Rechts. Sobald die gespiegelte und verschobene Funktion für t > 0 die Funktionen sich das erste mal überlappen, wird die Fläche ja größer 0.

Meine Frage ist:
1) Wie stellt man die Fälle auf. Wonach muss man gehen, damit man die aufstellen kann ?

Meine Ideen:
Ich weiss das die Fälle nicht ganz trivial sind aber woran orientiert man sich, um die FÄlle aufzustellen.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimmen der Fälle (Faltung) Signalverarbeitung
Ich habe hier mal was dazu geschrieben.

Viele Grüße
Steffen
Gast006 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Beispiel mit dem transparenten Papier über das andere Papier schieben ist mir auch schon in einer anderen Art und Weise klar gewesen.

Jedoch sehe ich noch nicht wie man die Fälle bestimmt. Mal steigt die Fläche mal steigt und fällt die Fläche z.b. Bei einem Dreieck mit einem Rechteck gefaltet und dann wird die Fläche nur noch weniger.
Dennoch sehe ich noch nicht woran ich mich bei der Fallunterscheidung richten muss.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Wichtige Stellen sind immer die Extrema und Nulldurchgänge. Ansonsten können wir ja mal gern ein Beispiel durchgehen.
Gast006 Auf diesen Beitrag antworten »

Sagen wir mal, wir hätten ein Eingangssignal mit:

und die Stoßantwort mit:


Wie sieht das Ausgangssignal g(t) aus ?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich nehme an, Du hast die beiden Funktionen gezeichnet vor Dir liegen, also den einzelnen Sägezahn h(t) und die zweistufige Treppe s(t). Nun spiegele den Sägezahn an der Vertikalachse zu h(-t). Diese Funktion wird nun nach rechts verschoben.

Am Anfang haben beide Funktionen an keiner Stelle Werte, die beide ungleich Null sind. Das Integral ist daher Null. Klar, oder?

Nun schieben wir den Sägezahn langsam nach rechts. Seine interessierende Fläche wird größer, und zwar quadratisch mit dem Verschiebeweg. Prüfe das ruhig mal nach. Zwei Rechtecke würden zu einem linearen Anstieg führen, hier aber entsteht jetzt eine Parabel.

Das geht so weiter, bis der Sägezahn ganz drin und somit direkt vor der zweiten Stufe liegt. Wird er nun weitergeschoben und es gäbe diese zweite Stufe nicht, bliebe die Fläche gleich. So aber entsteht wieder eine neue Parabel, die auf die doppelte Höhe führt, wenn der Sägezahn die zweite Stufe ganz durchwandert hat. Und auf dieser Höhe bleibt das Ausgangssignal dann auch.
 
 
Gast006 Auf diesen Beitrag antworten »

Auch wenn es das selbe ist. Ich habe die 2 - stufige Treppe als die die gefaltet wird, gewählt.
Ist das denn so richtig?


Ja gezeichnet habe ich beide Funktionen bereits
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Faltung ist kommutativ. Ich persönlich finde es anschaulicher, den Impuls durchzuschieben, aber das ist wohl Geschmacksache.

Edit: in Deiner Formel darf dann allerdings kein t in der Impulsfunktion stehen, der wird ja dann nicht verschoben.
Gast006 Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst:
oder ?
Gast006 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe jetzt mal die Fälle nach und nach aufgestellt. Also erster Fall dann erste Skizze für den ersten Fall. Zweiter Fall und zweite Skizze. Man hätte alle Fälle auch bevor man die erste Skizze gemacht hat aufstellen können. So ist das aber besser, da man immer den letzten Fall vor Augen hat und man dadurch schnell den nächsten Fall aufstellen kann, ohne groß zu überlegen.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so stimmt die Formel. Aber auch ich würde den Funktionsverlauf damit nicht vor Augen haben, das schaffen wohl nur Faltungscracks. Deswegen muss ich mir eben mit Bleistift und Papier aushelfen und rumschieben.

Die einzelnen Fälle (hier t<0, 0<t<1, 1<t<2, t>2) sieht man dann fast von alleine.

Viele Grüße
Steffen
Gast006 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe das so aufgeschrieben:

Das sollte doch auch gehen oder ?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist auch präziser als meine Version. (Ich hatte gestern nur mein Java abgeschaltet und daher keine -Zeichen verwendet.)
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