Kommutative Monoide

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GünterArnold Auf diesen Beitrag antworten »
Kommutative Monoide
Fragestellung: Gilt in kommutativen Monoiden die Kürzungsregel?
Beispiel (N0, +) und (N,*) sind kommutative Monoide in denen die Kürzungsregel gilt.
Die Beweise benutzen die Axiome der Natürlichen Zahlen, insbesondere das Induktionsaxiom, und die Eigenschaften der Addition bzw Multiplikation. Das steht für allgemeine kommutative Monoide nicht zu Verfügung. Ich vermute, das allgemein in kommutativen Monoiden die Kürzungsregel nicht gilt.
Ich versuche ein Gegenbeispiel zu konstruieren, aber ich finde keines.

Ich würde mich über ein Tipp freuen.

Literatur:
Thurston "The Number-System" Dover Publication, Inc. New York
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm einen Ring mit Nullteilern und als Operation die Ringmultiplikation, zum Beispiel

(ganze Zahlen modulo 4)

In diesem Ring gilt, wenn man Restklassen durch ihre Vertreter bezeichnet:

GünterArnold Auf diesen Beitrag antworten »
Kommutative Monoide
Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Die sogenannte Hemigroup (Siehe Thurston, Seite 60) ist eine Menge mit Operation * und folgenden Eigenschaften
a) Kommutative Halbgruppe
b) Kürzungsregel,
c) Existenz eines idempotenten Elementes.

Fragestellung: Besitzt jeder kommutative Monoid eine Hemigroup als Unterstruktur?

Meine Antwort: Ja, weil aus a,b,c die Existenz eines neutralen Elementes abgeleitet werden kann.
Ist das sauber und korrekt?
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RE: Kommutative Monoide
Ich kann deiner Argumentation nicht folgen verwirrt Du sollst untersuchen, ob im kommutativen Monoid immer eine Teilmenge mit den Eigenschaften a,b,c zu finden ist. Dann sagst, wenn a,b,c gilt, gibt es ein neutrales Element. Was soll damit gezeigt sein?

Edit: Die Aussage an sich ist richtig, weil das neutrale Element sogar eine Gruppe im Monoid erzeugt. Spanndender ist die Frage, ob es immer eine Hemigroup mit mindestens zwei Elementen gibt.

Edit2: Die spannendere Aussage gilt nicht.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachten wir die Potenzmenge der Menge , also



Als multiplikative Operation auf nehmen wir die Schnittbildung von Mengen. Damit wird zu einem kommutativen Monoid mit neutralem Element .

Wenn ich das richtig sehe, sind wegen der Idempotenz triviale Gruppen. Oder wird, wenn von "Unterstruktur" die Rede ist, verlangt, daß das neutrale Element von der Unterstruktur angehört und deren neutrales Element ist? Dann würden die ersten drei wegfallen.

Sogenannte Hemigroups (noch nie gehört) mit mehr als einem Element habe ich keine gefunden. Gehört der Unterstruktur außer noch ein weiteres Element an, so gilt , aber nicht . Damit ist b) verletzt.
GünterArnold Auf diesen Beitrag antworten »
Kommutative Monoide
Habe ich das richtig verstanden, daß b und c g. d.w. "es existiert ein neutrales Element"?

Vielen Dank für Ihre klare und verständliche Argumentation. Ich wünsche einen Guten Rutsch!
 
 
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RE: Kommutative Monoide
@Leopold: Interessant, dass du strukturell das gleiche Beispiel gefunden hast wie ich. Bei mir kommt es als mit komponentenweiser Multiplikation daher.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ein hübscher Übereinklang zum Jahresausklang.

wie gehabt


mit komponentenweiser Multiplikation

ist ein möglicher Isomorphismus.

Darauf ein Prost .

Auch allen andern, die hier zufällig vorbeischauen, ein hoffentlich unvergeßlicher und einmaliger Jahreswechsel! Prost Prost Prost
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Da kann man in der Tat mal die Tassen, Gläser, Flaschen, Fässer,.. hoch nehmen Prost Wink
GünterArnold Auf diesen Beitrag antworten »
Kommutative Monoide
@Leopold

x*x = y*y = y,
x*y = y*x = x

das ist eine Hemigroup mit 2 Elementen.

Oder bin ich vernagelt?
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RE: Kommutative Monoide
Du hast die Multiplikationstafel der Gruppe mit zwei Elementen angegeben, damit natürlich auch eine Hemigroup mit zwei Elementen.
Es ging aber um deine
Zitat:
Fragestellung: Besitzt jeder kommutative Monoid eine Hemigroup als Unterstruktur?

und die erweiterte Fragestellung, ob jedes kommutative Monoid eine Hemigroup mit zwei Elementen enthält. Letzteres ist nicht der Fall.
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