Konservendose aus Rechteck ausschneiden |
| 31.12.2020, 11:42 | yondaime | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Konservendose aus Rechteck ausschneiden Eine Konservendose in der Form eines Zylinders mit Radius r und Höhe h soll ein Volumen von V = 1 dm^3 besitzen. Deckel und Boden werden aus einem quadratischen Blechstück mit Seitenlänge 2r ausgeschnitten. Dabei entsteht Abfall (schattiert im Bild). Welches Verhältnis r/h führt zu einem minimalen Blechverbrauch, falls das Abfallbleck mitgezählt wird? Meine Ideen: Habe mal angefangen 2*2r*h - pi*r^2*h = Abfall Das habe ich dann abgeleitet und 4h - 2rh*pi erhalten Das habe ich 0 gesetzt und r = 2/pi und h = pi/4 erhalten. Ich glaube aber dass dies nicht richtig ist, da ich dann ein Volumen von 2 dm^3 für das Rechteck habe und dann einfach 50% Abfall entsteht. |
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| 31.12.2020, 12:12 | Ulrich Ruhnau | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Konservendose aus Rechteck ausschneiden
Wenn Du auf einen minimalen Blechverbrauch abzielst, dann solltest Du nicht nur den Abfall berücksichtigen. Etwas ist außerdem an der Aufgabe unklar: Sollen Mantel, Deckel und Boden aus einem einzigen quadratischem Blech gefertigt werden? Oder sollen Deckel und Boden aus jeweils einem quadratischem Stück Blech geschnitten werden? |
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| 31.12.2020, 12:14 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
In der Aufgabe ist nur vom Deckel und Boden die Rede. Die Höhe spielt also für den Abfall zunächst keine Rolle. Wenn Du keine Angaben weggelassen hast, musst Du also nur die Kreisfläche von der quadratischen Grundfläche abziehen und die dabei entstehende Funktion bzgl. r minimieren. Die Höhe bekommst Du danach aus der Volumensbedingung. |
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| 31.12.2020, 12:20 | Ulrich Ruhnau | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Helferlein Wenn man die Randbedingung nutzt, daß ein Liter Flüssigkeit in die Dose passen soll, dann wird die Dose aber unendlich hoch und schmal. |
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| 31.12.2020, 12:36 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Solange wir nichts über die Herstellung der Seite wissen, ist das aber die mathematisch korrekte Antwort. |
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| 31.12.2020, 12:49 | Ulrich Ruhnau | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn die 1L-Dose mit einem minimalen Blechverbrauch gebaut werden soll, und statt lieber zu rechnen ist, dann hat die Dose einen Gesamtblechverbrauch von . Dann ist also nur noch die Randbedingung mit konstantem zu berücksichtigen. |
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| 31.12.2020, 13:11 | yondaime1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Ulrich Ruhnau Warum hast du mal 2 gerechnet bei der Fläche und mit h multipliziert? @Helferlein Habe die Grundfläche minus die Kreisfläche gerechnet und abgeleitet, danach nach r minimiert, aber dann r = 0 bekommen. Zur Aufgabe: Ich habe nicht mehr Informationen bekommen und verstehe irgendwie auch nicht was der Lehrer will. Verstehe auch eure Lösungen nicht ganz 
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| 31.12.2020, 15:04 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, ich rudere mal ein wenig zurück. Wäre die Aufgabe den Abfall zu minimieren, wäre die Lösung r=0 korrekt. Es geht hier aber um den minimalen Blechverbrauch gefragt. Die Zielfunktion besteht also aus der Mantelfläche plus die beiden Platten für Boden und Deckel. |
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| 31.12.2020, 21:48 | Ulrich Ruhnau | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Umfang eines Kreises ist . Die Seitenwand der Blechdose hat daher eine Oberfläche von . |
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