s(t) = rect(t^2 - 1)

01.01.2021, 06:44	Gast006	Auf diesen Beitrag antworten »
s(t) = rect(t^2 - 1) Meine Frage: Gegeben ist die Zeitfunktion $\begin{eqnarray} s(t) = \operatorname{rect}{(t^2 - 1)} \end{eqnarray}$ 1) Ersetzen Sie $\begin{eqnarray} s(t) \end{eqnarray}$ durch einen einfacheren Ausdruck und skizzieren Sie $\begin{eqnarray} s(t) \end{eqnarray}$ unter Angabe charakteristischer Werte! 2) Stellt $\begin{eqnarray} s(t) \end{eqnarray}$ ein kausales Signal dar? (Begründung) 3) Berechnen Sie die Energie des Signals $\begin{eqnarray} s(t) \end{eqnarray}$ ! 4) Als Trägersignal für eine digitale Übertragung stehen zwei mögliche Signale $\begin{eqnarray} s1(t) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} s2(t) \end{eqnarray}$ zur Auswahl. $\begin{eqnarray} s_1(t)=\left\{\begin{array}{ll} \cos(2 \pi t), & 0 \leq t \leq 1 \\<br /> 0, & \text{ sonst }\end{array}\right. \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} s_2(t)=\left\{\begin{array}{ll} \sin(2 \pi t), & 0 \leq t \leq 1 \\<br /> 0, & \text{ sonst }\end{array}\right. \end{eqnarray}$ Berechnen Sie für beide Signale die Spektren $\begin{eqnarray} S_1(f) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} S_2(f) \end{eqnarray}$ und entscheiden Sie, welches Signal aufgrund der benötigten Bandbreite zu bevorzugen ist! Meine Ideen: Zu 1: Ich habe die beiden rechtecke gezeichnet. Die Symmetrielinie liegt ja bei den rect's bei +1 und einmal bei -1 Frage: Wie soll man hierbei etwas noch einfacher ausdrücker ? Mit 2 Sprungfunktionen ? Dann wäre das ja nicht wirklich einfacher oder ? Zu 2: Ein kausales System kann es nicht sein da für $\begin{eqnarray} t < 0 => s(t) \neq 0 \end{eqnarray}$ Weil da ja noch der rect auf der negativen t Achse bei -1 sitzt. Zu 3: Wie berechnet man die Energie des Signals aus ? Zu 4: Wie geht man bei dieser Aufgabe vor ? (Tipps & Hinweise) Zwei Beiträge zusammengefasst, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen
04.01.2021, 10:41	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: s(t) = rect(t^2 - 1) Vielleicht ist mit dem "einfacheren Ausdruck" die Form $\begin{eqnarray} rect \frac {t-x}y \end{eqnarray}$ gemeint, mit der man den rect beliebig in Breite und Zentrum verändern kann. Die Symmetrie könnte dann eine Betragsfunktion erledigen. Aber einfacher, hm... Energie ist üblicherweise das Integral des quadrierten Signals. Und bei der letzten Aufgabe berechne die beiden Fourierspektren und schau, welches weniger hochfrequenten Anteil hat. Viele Grüße Steffen
14.01.2021, 13:50	Gast006	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe die erste Frage nach der Vereinfachung mal meinem Mathe Prof geschrieben und das hat er geantwortet: Somit ist das Signal in der Tat genau in zwei Intervallen, nämlich (-sqrt(1,5)\|-sqrt(0,5)) und (sqrt(0,5)\|sqrt(1,5)), gleich eins! Dies ließe sich nun alternativ wieder mittels zweier manipulierter normierter Rechteckfunktionen etwa wie folgt beschreiben rect(t/sqrt(6)) – rect(t/sqrt(2)) Wie kommt der denn auf die Argumente (t/sqrt(6)) und (t/sqrt(2)) ?
14.01.2021, 14:19	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Prof ist schon ein Fuchs! Einfach einen schmalen rect von einem breiten abziehen, dann hat man natürlich auch die beiden Pulse. Was die Umformung betrifft: der breite rect läuft ja von $\begin{eqnarray} -\sqrt{1,5} \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} +\sqrt{1,5} \end{eqnarray}$ , hat also eine Breite von $\begin{eqnarray} 2 \cdot \sqrt{1,5}=2 \cdot \sqrt{\frac 32}=2 \cdot {\frac {\sqrt 3}{\sqrt 2}}=\sqrt 2 \cdot \sqrt 2 \cdot {\frac {\sqrt 3}{\sqrt 2}}=\sqrt 2 \cdot \sqrt 3 = \sqrt 6 \end{eqnarray}$ Und, wie bereits geschrieben und auch hier ausgeführt, kann man durch Division des Arguments durch ebendiesen Wert die Breite des rects darauf einstellen.
14.01.2021, 14:20	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur Klarstellung: Bei "rect" geht es tatsächlich um diese Funktion https://de.wikipedia.org/wiki/Rechteckfunktion ? (Diese Bezeichnung ist mir nämlich nicht vertraut.) Na dann gilt doch $\begin{eqnarray} \operatorname{rect}\left(t^2-1\right) = 1 \end{eqnarray}$ laut Definition genau dann wenn $\begin{eqnarray} \left\|t^2-1\right\| < \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ , was umgestellt $\begin{eqnarray} 1-\frac{1}{2} < t^2 < 1+\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{2}{4} < t^2 < \frac{6}{4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{2}}{2} < \|t\| < \frac{\sqrt{6}}{2} \end{eqnarray}$ ergibt. Nun ist a) Funktionswert 1 für $\begin{eqnarray} \|t\| < \frac{\sqrt{6}}{2} \end{eqnarray}$ gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray} \operatorname{rect}\left(\frac{t}{\sqrt{6}}\right) \end{eqnarray}$ . b) Funktionswert 1 für $\begin{eqnarray} \|t\| < \frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray}$ gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray} \operatorname{rect}\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right) \end{eqnarray}$ . Durch die Differenz erreicht man wieder Funktionswert 0 im Innenbereich sowie 1 im "Zwischenintervall, während ganz außen wieder 0 ist. Ob das nun auch genau an den Übergangsstellen dann mit Funktionswert 1/2 so hinhaut wie gefordert, habe ich jetzt nicht überprüft.
14.01.2021, 15:03	Gast006	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist ja dann schon etwas abstrakter, um erstmal darauf zu kommen, dass man mit einem breiten rect minus einem schmalen rect, auch auf zwei Signale kommt. Danke Leute.
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