Zwei Kreise berühren einander

01.01.2021, 11:42

quadrierer

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Zwei Kreise berühren einander

Zwei Kreise können sich so berühren, dass vom zweiten Kreis auch noch die x-Achse durch den Mittelpunkt des ersten Kreises berührt wird.

Fragen:

1) Kann mit einem DGS-Programm ein Kohärenzsystem so klassich konstruiert werden, dass ein Bewegen eines Berührungspunktes im Zugmodus den Mittelpunkt des zweiten Kreises quasi auf seiner Mittelpunktkurve bewegt und diese als unbeschränkt genäherte dichte Punktekurve zeichnet, die dann als durchgehende Spurkurve wahrgenommen wird?

2) Was für eine Art von Kurve ist die Mittelpunktkurve des zweiten Kreises?

a) transzendente Kurve, ähnlich wie bei der Kurve Quadratrix?
b) beliebige algebraische Kurve?
c) elementare Kegelschnittkurve ? Welche?

01.01.2021, 15:07

mYthos

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RE: Zwei Kreise berühren sich

Zitat:

Original von quadrierer
Zwei Kreise können sich so berühren, dass vom zweiten Kreis auch noch die x-Achse durch den Mittelpunkt des ersten Kreises berührt wird.
...

Alleine dieser Satz ist schon ein Rätsel. Daraus geht weder die Lage, noch die Größe der Kreise, noch die Berührungsart hervor.

mY+

01.01.2021, 17:16

rumar

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RE: Zwei Kreise berühren sich
Ich versuche mal ein wenig, Gedanken zu lesen.

War vielleicht ungefähr so etwas gemeint:

Gegeben ist ein Kreis $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ mit Mittelpunkt M(0|0) und einem Radius r.
Ein zweiter Kreis $\begin{eqnarray*} k_2 \end{eqnarray*}$ soll den Kreis $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ (wahrscheinlich von außen) sowie die x-Achse des Koordinatensystems in je einem Punkt berühren.

Auf welcher Kurve liegen die möglichen Mittelpunkte des Kreises $\begin{eqnarray*} k_2 \end{eqnarray*}$ ?

____________________

Und so nebenbei: Was mit dem Ausdruck "Kohärenzsystem" da gemeint sein soll: keine blasse Ahnung ...

01.01.2021, 17:48

hawe

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Könnte das gemeint sein.

[attach]52365[/attach]
Klick mich

weiß aber nich ob ich ein Kohärenzsystem habe?

01.01.2021, 18:50

klauss

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RE: Zwei Kreise berühren sich
Danke hawe für die Animation.
Falls es so gemeint sein sollte, versteckt sich dahinter m. E. nur die Definition der Parabel als Ortslinie.
Denn wenn der Abstand der wandernden Kreismittelpunkte $\begin{eqnarray*} M_{2} \end{eqnarray*}$ von der x-Achse als $\begin{eqnarray*} r_{2} \end{eqnarray*}$ bezeichnet sei, dann ist der Abstand der $\begin{eqnarray*} M_{2} \end{eqnarray*}$ vom Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} M_{1} \end{eqnarray*}$ jeweils $\begin{eqnarray*} r_{2}+r_{1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} r_{1} \end{eqnarray*}$ als festem Radius des gegebenen Kreises.
Demnach erhalte ich die Mittelpunktkurve als Parabel mit Brennpunkt $\begin{eqnarray*} M_{1} \end{eqnarray*}$ und Leitlinie $\begin{eqnarray*} y=-r_{1} \end{eqnarray*}$ .

01.01.2021, 23:26

quadrierer

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Zitat:

Original von hawe
"weiß aber nich ob ich ein Kohärenzsystem habe?

Mit Kohärenzsystem bezeichne ich eine klassisch konstruierte DGS-Konstruktion, die als Sequenz zusammenhängend gezeichneter Kreis- und Geraden-Objekte ausgeführt ist und bei der sich ein abhängiger Ergebnispunkt (hier ist es M2) gemäss einer Zusammenhangbeschreibung bewegt, sofern ein unabhängiger Punkt im DGS-Zugmodus bewegt wird.
Der jeweils konkrete Zusammenhang findet sich im entsprechend erzeugten Konstruktionsplan /-vorschrift wieder.

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01.01.2021, 23:48

quadrierer

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RE: Zwei Kreise berühren sich

Zitat:

Original von klauss
Danke hawe für die Animation.
Falls es so gemeint sein sollte, versteckt sich dahinter m. E. nur die Definition der Parabel als Ortslinie.

Ja, so ist es!

Zitat:

Original von klauss[/i]
Denn wenn der Abstand der wandernden Kreismittelpunkte $\begin{eqnarray*} M_{2} \end{eqnarray*}$ von der x-Achse als $\begin{eqnarray*} r_{2} \end{eqnarray*}$ bezeichnet sei, dann ist der Abstand der $\begin{eqnarray*} M_{2} \end{eqnarray*}$ vom Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} M_{1} \end{eqnarray*}$ jeweils $\begin{eqnarray*} r_{2}+r_{1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} r_{1} \end{eqnarray*}$ als festem Radius des gegebenen Kreises.
Demnach erhalte ich die Mittelpunktkurve als Parabel mit Brennpunkt $\begin{eqnarray*} M_{1} \end{eqnarray*}$ und Leitlinie $\begin{eqnarray*} y=-r_{1} \end{eqnarray*}$ .

Zu ergänzen ist noch, der Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} M_{2} \end{eqnarray*}$ bewegt sich innerhalb und ausserhalb vom Kreis 1.

Bleibt noch die Frage, wie sieht hier eine DGS-Konstruktion aus, bei der ein im Zugmodus bewegter Berührungspunkt der beiden Kreise den Kreismittelpunkt $\begin{eqnarray*} M_{2} \end{eqnarray*}$ bewegt?

02.01.2021, 00:30

Leopold

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Strahlensatz!

[attach]52367[/attach]

02.01.2021, 00:37

mYthos

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@quadrierer
Die letzte Frage geht bereits über die Lösung eines "Rätsels" hinaus.
Denn deren Bearbeitung hängt von dem zur Verfügung stehenden Technologieeinsatz ab (mir ist bekannt, dass du über GeoGebra* verfügst).

Ich habe daher die Absicht, diesen Thread nach Geometrie, wo er besser aufgehoben ist, zu verschieben.

(*)
In GeoGebra gibt es den Befehl "Ortslinie", damit wird an Stelle einer Punkteschar der Graph in dem in Frage kommenden Bereich sofort durchgehend gezeichnet.
Darauf bewegt sich dann der Mittelpunkt des 2. Kreises, wenn dessen Radius (mit Schieberegler) verändert wird.
Die Schieberegler, die für die Radien der beiden Kreise eingeführt werden können, ermöglichen beliebige Ansichten des Szenarios.

[attach]52368[/attach]

mY+

02.01.2021, 10:42

Leopold

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Mit Euklid gemäß Konstruktionsanleitung aus meinem vorigen Beitrag konstruiert.

[attach]52370[/attach]

Euklid-Datei im Anhang.

02.01.2021, 21:22

quadrierer

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Zitat:

Original von Leopold
Strahlensatz!

Der Lösungszusammenhang mit dem Strahlensatz überrascht. Er funktioniert für ausserhalb des Kreises 1. Dieses Funktionieren kann ich nachvollziehen. Für die Einsicht, dass FE=DT sein muss, brauch ich allerdings noch etwas Erklärung?

Taugt dieser Zusammenhang mit dem Strahlensatz auch für die Parabeleerzeugeung innerhalb des Kreises bei einer Kreisberührung von innen?

03.01.2021, 08:55

Leopold

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Zitat:

Original von quadrierer
Taugt dieser Zusammenhang mit dem Strahlensatz auch für die Parabeleerzeugeung innerhalb des Kreises bei einer Kreisberührung von innen?

Trage in der Konstruktion bei Schritt 2 den Punkt $\begin{align*} F \end{align*}$ von $\begin{align*} E \end{align*}$ aus statt nach innen nach außen auf $\begin{align*} g \end{align*}$ ab. Der Rest bleibt.

Zitat:

Original von quadrierer
Für die Einsicht, dass FE=DT sein muss, brauch ich allerdings noch etwas Erklärung?

Die Strecke $\begin{align*} DT \end{align*}$ besitze die Länge $\begin{align*} d \end{align*}$ . Gemäß 2. Strahlensatz gilt dann

$\begin{align*} \frac{d}{r_2} = \frac{r_1}{r_1 \pm r_2} \end{align*}$

Für den äußeren Berührungskreis gilt das obere, für den inneren Berührungskreis das untere Rechenzeichen. Die Verhältnisgleichung kann äquivalent umgeformt werden:

$\begin{align*} \frac{r_2}{r_1} = \frac{d}{r_1 \mp d} \end{align*}$

Diese Verhältnisgleichung dient dazu, $\begin{align*} r_2 \end{align*}$ mit dem 1. Strahlensatz zu konstruieren.

03.01.2021, 20:19

quadrierer

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Zitat:

Original von Leopold
Die Verhältnisgleichung kann äquivalent umgeformt werden:

$\begin{align*} \frac{r_2}{r_1} = \frac{d}{r_1 \mp d} \end{align*}$

Diese Verhältnisgleichung dient dazu, $\begin{align*} r_2 \end{align*}$ mit dem 1. Strahlensatz zu konstruieren.

Mir gelingt bisher leider nicht aus der ersten Gleichung durch Umformung zur obiger zweiten Gleichung

$\begin{align*} \frac{r_2}{r_1} = \frac{d}{r_1 \mp d} \end{align*}$

zu gelangen?
Ich kann jedoch erkennen, dass auch die zweite Gleichung die im Bild dargestellten Verhältnisse beschreibt.

03.01.2021, 21:59

Leopold

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Zitat:

Original von quadrierer
Mir gelingt bisher leider nicht aus der ersten Gleichung durch Umformung zur obiger zweiten Gleichung

Die erste Gleichung wie gewohnt nach $\begin{align*} r_2 \end{align*}$ auflösen und zuletzt durch $\begin{align*} r_1 \end{align*}$ dividieren.

13.01.2021, 18:46

quadrierer

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Zitat:

Original von mYthos
In GeoGebra gibt es den Befehl "Ortslinie", damit wird an Stelle einer Punkteschar der Graph in dem in Frage kommenden Bereich sofort durchgehend gezeichnet.
mY+

Danke für den Tip.

Es ist ein Trugschluss, zu denken, die mit „Ortslinie“ gezeichnete Parabelkurve sei keine Punkteschaar mehr. Es ist ist hier der Punkteabstand immer so klein gewählt, dass nicht mehr die einzelnen Punkte, sondern eine durchgehende Kurve (Graph) wahrgenommen wird.

Mit dem Zeichnen der Parabelkurve durch den Befehl „Ortslinie“, oder als Kegelschnittkurve durch 5 mit der Leopold-Konstruktion, oder einer anderen Konstruktion, erzeugten exakten Parabelpunkte, werden keine tatsächlich durchgezogenen Kurven erzeugt und auch keine ganz exakten Parabelpunkte, und dies, obwohl hierbei exakte geometrisch elementare Zusammenhänge der Ausgangspunkt für die konstruierten Berechnungsprozeduren sind.

Die seit der Antike einzuhaltenden Auflagen für ein klassisches Konstruieren (nur Zirkel und strichloses Lineal bzw. Kreise und Geraden) müssen hier nicht verletzt werden, um durch klassisches Konstruieren zu Positionen exakter Parabelpunkte oder auch zu exakten Positionen der nicht algebraischen Trisectrix-Kurve des Hippias von Elis zu gelangen.

Zitat:

Original von mYthos
Die Schieberegler, die für die Radien der beiden Kreise eingeführt werden können, ermöglichen beliebige Ansichten des Szenarios.
mY+

Solche Scenarios werden auch möglich, wenn Punkt T oder insbesondere wenn der Fusspunkt des senkrecht auf der x-Achse stehenden Strecke als Berührungspunkt von Kreis $\begin{eqnarray*} r_{2} \end{eqnarray*}$ und x-Achse in DGS-Zugmodus bewegt wird. Hierbei wird insbesondere das Szenario zur Parabelfunktion $\begin{eqnarray*} y=r_{2}=x^{2} \end{eqnarray*}$ nachvollziehbar und damit auch zu den Rechenoperationen Multiplikation und Division sowie Quadrieren und Ausziehen der Quadratwurzel (siehe hierzu auch www.cohaerentic.com/).

13.01.2021, 19:46

quadrierer

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Zitat:

[i]Original von Leopold[/i
Die erste Gleichung wie gewohnt nach $\begin{align*} r_2 \end{align*}$ auflösen und zuletzt durch $\begin{align*} r_1 \end{align*}$ dividieren.

Wenn ich es richtig verstehe, geht dein als Sequenz von zusammenhängenden Kreisen und Geraden konstruiertes Berechnen vom im DGS-Zugmodus bewegten Berührungspunkt T aus. Abhängig zum auf dem Kreis k1 bewegten Berührungspunkt T wird dann als letzter Schnittpunkt der Mittelpunkt M2 erzeugt. Könnte gedanklich in den Kreismittelpunkt M2 ein Bleistift eingesteckt werden, würde dieser dann eine Parabelkurve als durchgehende Spurkurve im und ausserhalb des Kreises k1 zeichnen, so wie sie erstmals Klaus in seinem Beitrag zeigt.

13.01.2021, 20:09

Leopold

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Genau so wurden die Parabelbögen in meinem Bild vom 2.1.2021, 10.43 Uhr, konstruiert. Sie entstehen nicht aufgrund einer Rechnung (jedenfalls keiner von mir), sondern als Ortslinie des Punktes $\begin{align*} M_2 \end{align*}$ , wenn man $\begin{align*} T \end{align*}$ über den Kreis zieht. Das Bild wurde haargenau nach der Konstruktion vom 2.1.2021, 0.30 Uhr, erstellt. Außer den Startobjekten und den Zielobjekten wurde alle geometrischen Objekte der Konstruktion versteckt. Sie können jederzeit sichtbar gemacht werden. Man kann in meiner Datei auch $\begin{align*} T \end{align*}$ animieren, daß er über den Kreis läuft. Dann läuft $\begin{align*} M_2 \end{align*}$ über die Parabelbögen, die sich in zwei unendlich fernen Punkten oben und unten treffen.

14.01.2021, 22:00

quadrierer

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Zitat:

Original von Leopold
Man kann in meiner Datei auch $\begin{align*} T \end{align*}$ animieren, daß er über den Kreis läuft. Dann läuft $\begin{align*} M_2 \end{align*}$ über die Parabelbögen, die sich in zwei unendlich fernen Punkten oben und unten treffen.

Diese Einsicht kann ich nachvollziehen.
Deine Ausführungen lassen jedoch den Eindruck entstehen, als sei nur der Fall betrachtet, bei dem der zweite Kreis $\begin{eqnarray*} k_2 \end{eqnarray*}$ den gegebenen Kreis $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ von aussen berührt. Oder täusche ich mich da vielleicht nur?

Ich sehe da auch noch den Fall, dass der zweite Kreis $\begin{eqnarray*} k_2 \end{eqnarray*}$ die x-Achse und den gegebenen Kreis $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ von innen berührt. Der Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} M_2 \end{eqnarray*}$ vom Kreis k_2 bewegt sich dabei jeweils quasi auf den innerhalb von Kreis $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ weitergehenden Parabelkurven, die jeweils durch die Mitte der Radiusstrecken gehen, welche senkrecht auf der x-Achse in $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ stehen. In deinem Bild vom 2.1.2021 sind diese inneren Parabelstücke nicht eingezeichnet.

14.01.2021, 22:21

Leopold

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[attach]52458[/attach]

15.01.2021, 21:12

quadrierer

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Zitat:

Original von Leopold

Ja, so ist das Bild vollständiger. Danke

Da habe ich dann noch eine Frage zu deiner Konstruktion und dem folgenden bei Wikipedia unter „Konstruktionen mit Zirkel und Lineal“ mitgeteiltem Wissen:

„Unmögliche Konstruktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Viele geometrische Figuren können mit Zirkel und Lineal allein nicht exakt konstruiert werden. Darunter sind die klassischen Probleme der antiken Mathematik:

die Dreiteilung des Winkels,

die Verdoppelung des Würfels,

die Quadratur des Kreises

sowie

die Kegelschnitte Ellipse (mit Ausnahme des Kreises), Parabel, Hyperbel und viele regelmäßige Vielecke.“

Ich sehe es wie folgt: Deine klassische Konstruktion realisiert einen exakten Berechnungszusammenhang für das Erzeugen der Positionen von M2. Damit liegt der Mittelpunkt M2 theoretisch, wenn man die Effekte der Fehler beim digitalen Berechnen sich wegdenkt, exakt auf der Kurve der Normalparabel, was nach Wikipedia mit klassischem Konstruieren nicht exakt möglich sein soll.

Wie beurteilst du diesen Sachverhalt?

15.01.2021, 22:22

Leopold

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Mit dem Lineal kann man Geraden zeichnen, mit dem Zirkel Kreise. Andere eindimensionale Gebilde, so zum Beispiel Parabeln, kann man mit diesen Werkzeugen offenbar nicht zeichnen. Dem steht nicht entgegen, daß man einzelne Punkte von Parabeln, Ellipsen und so weiter klassisch konstruieren kann.

15.01.2021, 23:55

quadrierer

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Zitat:

Original von Leopold
"--- Dem steht nicht entgegen, daß man einzelne Punkte von Parabeln, Ellipsen und so weiter klassisch konstruieren kann."

Deine Einsicht deckt sich hier quasi mit meiner. Allerdings möchte ich deinen Satz noch wie folgt ergänzen.

„Dem steht nicht entgegen, daß man sehr viele und theoretisch sogar endlos viele exakte Punkte von Parabeln, Ellipsen und so weiter klassisch konstruieren kann.„

18.01.2021, 15:28

quadrierer

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Zitat:

Original von Leopold
Strahlensatz!

[attach]52367[/attach]

Ich habe versucht, deine Konstruktion um die von dir versteckten Objekte zu ergänzen? Liege ich da richtig? Es gibt hier ja auch noch andere zum Ziel führende Zusammenhänge.[attach]52490[/attach]

18.01.2021, 17:24

Leopold

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Ich weiß nicht, mit welchem Programm du das konstruiert hast. Vermutlich mit GeoGebra. Auf den ersten Blick sieht es richtig aus. Warum ziehst du nicht einfach an $\begin{align*} T \end{align*}$ ? Dann sollten sich die beiden berührenden Kreise um den gegebenen Kreis herum drehen. GeoGebra kennt wohl auch das Tool "Ortslinie". Dann sollten dir für $\begin{align*} M_2 \end{align*}$ beziehungsweise $\begin{align*} M'_2 \end{align*}$ die vier beziehungsweise zwei Parabelsegmente gezeichnet werden.

19.01.2021, 10:53

quadrierer

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Zitat:

Original von Leopold
... Dann sollten dir für $\begin{align*} M_2 \end{align*}$ beziehungsweise $\begin{align*} M'_2 \end{align*}$ die vier beziehungsweise zwei Parabelsegmente gezeichnet werden.

Ich arbeite mit Geogebra.

Wenn man mein Bild vom 18.01.2021 anklickt, dann wird besser sichtbar, dass die beiden symmetrisch liegenden Parabeln bereits eingezeichnet sind. Dies geschah mit dem „Ortslinie-Befehl „Wähle den Brennpunkt, dann die Leitlinie“ Dieses Zeichnen geht aber schon über das klassische Konstruieren hinaus. Mit klassischem Konstruieren der Mittelpunkte $\begin{eqnarray*} M_{2} \end{eqnarray*}$ gelingt das Erzeugen exakter Parabelpunkte. Das Zeichnen einer durchgezogenen Spurkurve gelingt mir mit einem Ziehen von Punkt T leider nicht, obwohl sich dabei mein erzeugter Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} M_{2} \end{eqnarray*}$ exakt auf der Parabelkurve bewegt. Vielleicht übersehe ich da nur eine Möglichkeit bei Geogebra?

19.01.2021, 19:27

Leopold

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Da mußt du die Geogebra-Fachleute (zum Beispiel mYthos) befragen. Ich bin ja Euklid-treu für die Geometrie, und für Algebra und Analysis nehme ich LiveMath.

20.01.2021, 02:43

mYthos

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Eine "durchgezogene" Kurve kann nur mit dem Befehl [Ortslinie] bzw. [Ortsliniengleichung] gezeichnet werden.
Eine Spurkurve besteht immer aus einzelnen mehr oder weniger dicht aneinandergereihten Punkten (der wandernde Punkt hat dann das Attribut "Spur ein").
Außerdem ist die Spur NICHT dauerhaft, sie verschwindet z.B. beim Zoomen sofort.

mY+

20.01.2021, 08:50

Leopold

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In Euklid ist das in einen Befehl gepackt. Euklid zeichnet beim Ziehen an einem beweglichen Punkt, der an eine Linie, zum Beispiel einen Kreis, gebunden ist (oder beim Ändern eines Zahlenparameters in einem Intervall), mit dem Befehl "Ortslinie aufzeichnen" die Spur eines anderen abhängigen Punktes als Punkteserie und macht daraus nach irgendeinem Verfahren (vielleicht durch Bézier-Kurven) eine Kurve. Man kann nachträglich wählen, ob man die Kurve als Kurve oder als Punkteserie anzeigen lassen will und jederzeit dazwischen wechseln. Beim Ändern von Grundobjekten paßt sich die Ortslinie immer aktuell an. Nur bei aufwendigen und komplizierten Konstruktionen kann es sein, daß Euklid aussteigt und einen Kurvensalat liefert. Man hat auch die Option, die Kurve in eine Standardkurve umwandeln zu lassen. Euklid versucht dann zu erkennen, ob es sich zum Beispiel um einen Kegelschnitt handelt. Beim vorliegenden Problem ist die Umwandlung in eine Standardkurve nicht gelungen, was nicht weiter verwundert, denn vier Parabelbögen sind noch lange keine Parabel.

20.01.2021, 16:57

quadrierer

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@ Leopold
@ mYthos
Danke für die Tips.

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