Zwei Kreise in Halbkreis

01.01.2021, 13:17	rumar	Auf diesen Beitrag antworten »
Zwei Kreise in Halbkreis Meine Frage: Einem Halbkreis (Kreisradius r) sollen zwei nebeneinander liegende und einander berührende Kreise der Radien u und v einbeschrieben werden, wie in der Zeichnung gezeigt. [attach]52362[/attach] Gesucht sind nun Tripel (u,v,r) von natürlichen Zahlen, für welche diese Berührungseigenschaften realisiert werden können. Dabei beschränkt man sich sinnvollerweise auf teilerfremde Tripel. Meine Ideen: Das wohl einfachste Tripel wäre nun (u,v,r) = (1,2,4). Doch: was wäre etwa das "nächstgrößere" derartige Tripel ? Ich habe zwar einzelne mögliche Tripel gefunden bzw. konstruiert, habe aber noch keine richtige Übersicht. Dabei würde ich (wenigstens vorläufig) noch verlangen, dass von den beiden Kreismittelpunkten A und B einer rechts von M und einer links von M liegen soll. (Beim Tripel (1,2,4) liegt A genau oberhalb von M).
01.01.2021, 22:07	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei $\begin{align} r=1 \end{align}$ habe ich die folgende rationale Parametrisierung für $\begin{align} u,v \end{align}$ gefunden: Zu einem beliebigen $\begin{align} v = \frac{1}{4} \cdot \left( 2 - t^2 \right) \, , \ \ 0 \leq t \leq \sqrt{2} \end{align}$ gibt es die beiden $\begin{align} u \end{align}$ -Werte $\begin{align} u = \frac{1}{2} \cdot \frac{2-t^2}{(2 \pm t)^2} \end{align}$ Beispiel: $\begin{align} t=\frac{4}{3} \end{align}$ liefert $\begin{align} v = \frac{1}{18} \, , \ u = \frac{1}{4} \ \ \text{oder} \ \ u = \frac{1}{100} \end{align}$ Als teilerfremde Tripel $\begin{align} (u,v,r) \end{align}$ geschrieben wären das $\begin{align} (9,2,36) \end{align}$ und $\begin{align} (9,50,900) \end{align}$ . Hier ein verwandtes Problem.
06.01.2021, 15:18	rumar	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Leopold Danke für deine Parameterdarstellung, mit welcher sich mögliche Lösungstripel bestimmen lassen. Ich bin einen etwas anderen Weg gegangen und habe auch Algorithmen zur Erzeugung von Tripeln erstellt. Wie ich schon gesagt habe, interessiere ich mich für teilerfremde Lösungstripel, und zwar für jenen Fall, wo von den beiden Kreismittelpunkten einer links und einer rechts von der Mitte der gesamten Figur liegt. Damit möchte ich z.B. jene Lösungen ausschließen, bei welchen etwa beide (kleinen) Kreise sich eng in eine der Ecken der Halbkreisfigur drängen. Für die Anordnung $\begin{eqnarray} \ \ u < v < r \ \ \end{eqnarray}$ kann diese Forderung auch durch die Ungleichung $\begin{eqnarray} \ v < 2u \ \end{eqnarray}$ beschrieben werden. Die von dir als Beispiele angegebenen Tripel erfüllen diese Bedingung nicht. Soweit ich sehe, gibt es nun von dieser Art teilerfremder Tripel $\begin{eqnarray} (u,v,r) \end{eqnarray}$ keines mit $\begin{eqnarray} r \le 100 \end{eqnarray}$ . Dasjenige Tripel mit dem kleinstmöglichen Wert von $\begin{eqnarray} \ r\ \end{eqnarray}$ ist (falls ich nichts übersehen habe) $\begin{eqnarray} \qquad (u,v,r) = (56,63,144) \end{eqnarray}$ Ein paar weitere wären etwa $\begin{eqnarray} (306,425,900)\ ,\ (575,736,1600) \ ,\ (992,1519,3136)\ ,\ (2009,2050,4900) \end{eqnarray}$
06.01.2021, 16:03	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit der Parameterdarstellung erhältst du diese Tripel in deiner Reihenfolge mit $\begin{align} t = \frac{2}{3} , \frac{4}{5}, \frac{3}{4}, \frac{6}{7}, \frac{3}{5} \end{align}$ (bei $\begin{align} u \end{align}$ ist es jeweils die Variante mit dem Minuszeichen). Gegenüber dir sind $\begin{align} u \end{align}$ und $\begin{align} v \end{align}$ vertauscht.
06.01.2021, 18:05	rumar	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke ! Bezüglich der Reihenfolge in der Schreibweise (die hatte ich zuerst mal anders gewählt) habe ich mich jetzt auf $\begin{eqnarray} (u,v,r) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} u<v<r \end{eqnarray}$ eingestellt. Es scheint (nach deinen Angaben), dass die Tripel mit relativ kleinstmöglichen Werten von r auch nur über t-Werte mit ganz kleinen natürlichen Zählern und Nennern entstehen. Ich muss mir also kaum Sorgen machen, dass plötzlich noch jemand mit einem Tripel $\begin{eqnarray} (u,v,r) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} r<144 \end{eqnarray}$ auftaucht, welches auch meinen Vorgaben entspricht.

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