Koeffizient Umkehrung Laurent-Reihe

02.01.2021, 13:13	Mathematikmaus	Auf diesen Beitrag antworten »
Koeffizient Umkehrung Laurent-Reihe Meine Frage: Hallo, ich beschäftige mich gerade mit einem Paper und verstehe nicht, wie man eine Tatsache, die hier nebenbei erwähnt wird, herleiten kann. Es geht um konforme Abbildungen f auf einem Gebiet $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ in der erweiterten komplexen Ebene, wobei $\begin{eqnarray} \infty\in\Omega \end{eqnarray}$ und f ist in der Nähe von $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ folgendermaßen normalisiert: $\begin{eqnarray} f(z) = z + \frac{a_1}{z} + ... \end{eqnarray}$ Nun sind auch die Funktionen g und h genauso normalisiert in der Nähe von $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} g(z) = z + \frac{b_1}{z} + ... \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h(z) = z + \frac{c_1}{z} + ... \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} h := f\circ g^{-1} \end{eqnarray}$ gilt. Nun soll angeblich folgendes gelten: $\begin{eqnarray} c_1 = a_1 - b_1 \end{eqnarray}$ . Mit dieser letzten Herleitung hab ich meine Probleme. Meine Ideen: Meine Idee war von z auf $\begin{eqnarray} \frac{1}{z} \end{eqnarray}$ überzugehen, denn dann gilt ja beispielsweise, dass $\begin{eqnarray} c_1 \end{eqnarray}$ die erste Ableitung der Funktion $\begin{eqnarray} h(\frac{1}{z})- \frac{1}{z} \end{eqnarray}$ im Punkt 0 ist und dann mit der Kettenregel weiterzuarbeiten. Mit diesem Ansatz komme ich aber leider nicht weiter und wäre sehr hilfreich für weitere Denkanstöße!
02.01.2021, 14:20	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt ein $\begin{align} C>0 \end{align}$ , so daß die Darstellungen von $\begin{align} f,g,h \end{align}$ für $\begin{align} \|z\|>C \end{align}$ gelten. Setzt man $\begin{align} z = \frac{1}{w} \end{align}$ , so hat man für $\begin{align} 0 \neq \|w\| < \frac{1}{C} \end{align}$ Laurent-Reihen mit endlichem Hauptteil: $\begin{align} f \left( \frac{1}{w} \right) = \frac{1}{w} + a_1 w + a_2 w^2 + \ldots \end{align}$ $\begin{align} g \left( \frac{1}{w} \right) = \frac{1}{w} + b_1 w + b_2 w^2 + \ldots \end{align}$ $\begin{align} h \left( \frac{1}{w} \right) = \frac{1}{w} + c_1 w + c_2 w^2 + \ldots \end{align}$ Wenn nun $\begin{align} h = f \circ g^{-1} \end{align}$ gelten soll, also $\begin{align} h \circ g = f \end{align}$ , erhält man $\begin{align} \left( h \circ g \right) \left( \frac{1}{w} \right) = h \left( \frac{1}{w} + b_1 w + b_2 w^2 + \ldots \right) \end{align}$ $\begin{align} = \frac{1}{w} + b_1 w + b_2 w^2 + \ldots + \frac{c_1}{\frac{1}{w} + b_1 w + b_2 w^2 + \ldots} + \frac{c_2}{\left( \frac{1}{w} + b_1 w + b_2 w^2 + \ldots \right)^2} + \ldots \end{align}$ $\begin{align} = \frac{1}{w} + b_1 w + b_2 w^2 + \ldots + c_1 w \cdot \frac{1}{1 + b_1 w^2 + b_2 w^3 + \ldots} + c_2 w^2 \cdot \frac{1}{\left( 1 + b_1 w^2 + b_2 w^3 + \ldots \right)^2} + \ldots \end{align}$ Die Brüche bestimmen in einer Umgebung von $\begin{align} w=0 \end{align}$ holomorphe Funktionen mit Wert 1 bei $\begin{align} w=0 \end{align}$ . Sie lassen sich daher um $\begin{align} w=0 \end{align}$ in Potenzreihen entwickeln, die $\begin{align} 1 + \ldots \end{align}$ beginnen (die restlichen Glieder interessieren im Folgenden nicht). Man formt daher oben weiter um: $\begin{align} = \frac{1}{w} + b_1 w + b_2 w^2 + \ldots + c_1 w \cdot \left( 1 + \ldots \right) + c_2 w^2 \cdot \left( 1 + \ldots \right) + \ldots \end{align}$ $\begin{align} = \frac{1}{w} + \color{red} b_1 w \color{black} + b_2 w^2 + \ldots + \left( \color{red} c_1 w \color{black} + \ldots \right) + \left( c_2 w^2 + \ldots \right) + \ldots \end{align}$ $\begin{align} = \frac{1}{w} + \color{red} \left( b_1 + c_1 \right) w \color{black} + \ldots \end{align}$ Wegen der Eindeutigkeit der Laurent-Reihendarstellung liefert ein Vergleich mit der Reihe von $\begin{align} f \left( \frac{1}{w} \right) = \frac{1}{w} + \color{red} a_1 w \color{black} + \ldots \end{align}$ die Beziehung $\begin{align} \color{red} a_1 = b_1 + c_1 \end{align}$
02.01.2021, 14:40	Mathematikmaus	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für diese ausführliche Antwort Leopold, diese hat mir sehr geholfen!

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