Ebene aufstellen durch drei Punkte.

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Mathman91 Auf diesen Beitrag antworten »
Ebene aufstellen durch drei Punkte.
Hallo,

ich soll aus drei Punkten die Ebene aufstellen um damit dann berechnungen durchführen zu können.

Gegeben habe ich drei Punkte: P1, P2, P3

Zuerst berechne ich den Normalvektor mit Hilfe des Kreuzproduktes.

Wie z.B.:

Nun meine erste Frage:

Kann ich die berechnung des Richtungsvektors: mit jeder möglichen Kombination durchführen?

Also z.B. oder oder oder usw.

Man bekommt ja immer ein anderes Ergebnis heraus und ich möchte nur wissen, ob man jede kombination verwenden darf oder nicht?

Zweite Frage:

Wenn ich dann meine Ebene habe wie z.b:

,dann setze ich ja bei den Fragezeichen einen Punkt ein.
Nun die Frage, kann ich hier jeden Punkt von P1 bis P3 einsetzen?

Hinweis:
Dies ist nur eine Verständnisfrage ohne Beispiel.
Ich habe das Beispiel bereits berechnet und es hat gepasst.
Nur sind bei mir dann halt die beiden Fragen aufgekommen.

Danke.

SG
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ebene aufstellen durch drei Punkte.
Zitat:
Original von Mathman91
Zuerst berechne ich den Normalvektor mit Hilfe des Kreuzproduktes.

Naja, in Anbetracht der folgenden ersten Frage würde ich von der Reihenfolge her zuerst die Parameterform der Ebene aufstellen und danach den Normalenvektor berechnen.
Da wir 2 Richtungsvektoren benötigen, finde ich es empfehlenswert, diese jeweils mit demselben Fußpunkt zu versehen. Dann sind folgende Kombinationen möglich:
und
oder
und
oder
und

Zweite Frage:
Die Ebenengleichung ist nicht komplett. Wahrscheinlich meinst Du

wobei vorne der Normalenvektor steht.
Für die Fragezeichen setzt Du irgendeinen beiliebigen Punkt ein, der in der Ebene liegt.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ebene aufstellen durch drei Punkte.
Zitat:
Original von Mathman91
...
Kann ich die berechnung des Richtungsvektors: mit jeder möglichen Kombination durchführen?
...

Du meinst wohl den Normalvektor. Ja, die Kombinationen sind möglich.

Zitat:
Original von Mathman91
...
Man bekommt ja immer ein anderes Ergebnis heraus ...

So ist es nicht!
Du bekommst nur scheinbar ein anderes Ergebnis heraus! Es ergibt sich immer EIN Normalvektor der Ebene!
Alle Ergebnisse unterscheiden sich lediglich hinsichtlich der Länge und der Orientierung dieser Vektoren.
Dennoch ist die Ebene (mit einem ihrer Stützpunkte) hiermit eindeutig festgelegt.

mY+
Mathman91 Auf diesen Beitrag antworten »

Das habe ich ja so geschrieben, das ich für die Fragezeichen P1 oder P2 oder P3 einsetzen kann.

Dann passt das ja, was ich in meinen Beitrag geschrieben habe?

Viele Grüße.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das ? betrifft die 2. Frage und diese hat dir klauss klärend beantwortet.
---------
Bei der 1. Frage ging es auch darum, dass du offenbar verschiedene Normalvektoren erhalten hast.
Auch hier kannst du verschiedene Kombinationen der Punkte verwenden, denn in Wirklichkeit haben alle Vektoren die gleiche Richtung.
(Sie sind kollinear, d.h. ihre Komponenten sind zueinander proportional, sie gehen durch Multiplikation mit einer Konstanten aus einander hervor)

mY+
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathman91
Man bekommt ja immer ein anderes Ergebnis heraus

Tatsächlich sind es über alle Kombinationen betrachtet lediglich zwei mögliche Ergebnisvektoren, die sich lediglich im Vorzeichen unterschieden, d.h., Richtungsvektor derselben Geraden sind.

Man kann sich das auch inhaltlich überlegen: Dieses Vektorprodukt steht senkrecht auf der Ebene durch und besitzt einen Betrag, der der doppelten Fläche des Dreiecks entspricht - und dabei ist es völlig gleichgültig, in welcher Reihenfolge man die drei Punkte numeriert.
 
 
Mathman91 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ein beliebieger Punkt ist einer der drei Punkte die ich habe.
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