Term vereinfachen

02.01.2021, 17:17

Velasquita

Term vereinfachen

Meine Frage:
Ich versuche verzweifelt zu verstehen wie man a^2-5a-14 zu (a-7)*(a+2) vereinfacht. Erfolglos.

Meine Ideen:
ES sieht irgendwie nach der 3. Binomischen Formel aus, ist es ja aber wohl doch nicht. Aus 14 kann ich keine Wurzel ziehen. Ich sehe das 14/2 7 ergibt und 7-2 5, aber das hilft nicht, oder? Ich verstehe einfach nicht was da gerechnet wird. Hilfe bitte!

02.01.2021, 17:22

klauss

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RE: Term vereinfachen
Kommt drauf an, welche Vorkenntnisse Du hast.
Mit dem Satz von Vieta geht es mit bloßem Auge.
Oder Du weißt, dass man die Summe als Produkt von Linearfaktoren schreiben kann, wenn man die beiden Werte von a kennt, für die der Term 0 wird.

02.01.2021, 17:24

G020121

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RE: Term vereinfachen
Schau mal unter SATZ VON VIETA!

Welche ganze Zahlen haben das Produkt -14? Damit ist man schnell am Ziel.

02.01.2021, 18:44

Velasquita

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RE: Term vereinfachen
Ich habe das Gefühl, beides strapaziert meine Vorkenntnisse^^ Aber ich gucke mir das mal an, vielen Dank für die Hilfe!

02.01.2021, 19:25

G020121

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RE: Term vereinfachen
Mit der pq-Formel kommst du auch ans Ziel.

03.01.2021, 10:02

Bürgi

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RE: Term vereinfachen
Guten Morgen und ein glückliches, erfolgreiches neues Jahr!

Zitat:

ES sieht irgendwie nach der 3. Binomischen Formel aus,

nicht gleich, aber ich komme noch dazu

Zitat:

Ich habe das Gefühl, beides strapaziert meine Vorkenntnisse

An Vorkenntnissen musst du die drei binomischen Formeln kennen.

Ich werde deinen Term Schritt für Schritt erst auseinandernehmen und anschließend neu zusammensetzen:

$\begin{eqnarray*} a^2-5a-14 \end{eqnarray*}$ Jetzt die quadratische Ergänzung addieren und gleich wieder subtrahieren: Also nix passiert!
$\begin{eqnarray*} a^2-5a + \frac{25}{4} - \frac{25}{4} - 14 \end{eqnarray*}$ Jetzt die ersten drei Summanden zu einem vollständigen Binom zusammenfassen.
$\begin{eqnarray*} \left(a - \frac52 \right)^2 - \frac{25}{4} - 14 \end{eqnarray*}$ Die letzten beiden Summanden zusammenfassen
$\begin{eqnarray*} \left(a - \frac52 \right)^2 - \frac{81}{4} \end{eqnarray*}$ Wie du siehst, ist $\begin{eqnarray*} \frac{81}{4} = \left(\frac92 \right)^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left(a - \frac52 \right)^2 - \left(\frac{9}{2} \right)^2 \end{eqnarray*}$ Hier steht nun eine dritte binomische Formel. Umformen in ein Produkt:
$\begin{eqnarray*} \left(a-\frac52 + \frac92 \right) \left(a-\frac52 - \frac92 \right) \end{eqnarray*}$ In den Klammern die Brüche zusammenfassen:
$\begin{eqnarray*} \left(a+\frac42 \right) \left(a-\frac{14}2 \right) = (a+2)(a-7) \end{eqnarray*}$

Anmerkungen:
1. Es ist in diesem Forum nicht üblich, Komplettlösungen zu geben. Ich habe sie dir trotzdem gegeben, damit das neue Jahr einigermaßen erfolgreich für dich wird und weil ich den Eindruck hatte, dass du ein "Kochrezept" gesucht hast.
2. Dieses Rezept funktioniert in dieser Form nur, wenn vor dem Quadrat der Koeffizient 1 steht wie in deinem Beispiel. Wenn der Koeffizient nicht 1 ist, muss er vorher ausgeklammert werden.
3. In deinem Beispiel ist der konstante Subtrahend eine Quadratzahl. Du kannst allerdings jede (positive) Zahl zu einer Quadratzahl machen, indem du vorher die Wurzel ziehst. Z.B. $\begin{eqnarray*} 13 = \left( \sqrt{13} \right)^2 \end{eqnarray*}$
4. Sollte nach der quadratischen Ergänzung keine Differenz entstehen, handelt es sich nicht um die dritte binomische Formel und der Term ist dann nicht faktorisierbar.
5. Frohes Schaffen.

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