Gleichung auflösen

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questo Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichung auflösen
Guten Abend zusammen,

ich habe folgende Gleichung für mich aufgestellt: x² + sqrt(x) = 18

Die Lösung ist natürlich 4. Das weiß ich, da ich den GTR genommen habe, und irgendwelche Zahlen da nach dem obigen Schema eingetippt habe. Mein Ziel ist es nämlich, das ganze schriftlich zu lösen. Nur komme ich da mit meinen Mathematikkenntnissen aus 13 Jahren Schule nicht weiter.

Früher oder später landet man nach dem Umstellen der Gleichung zunächst nach sqrt(x) und danach nach 0 bei -x^4+36x²+x-324 = 0.
Die pq-Formel kann man hier leider nicht mehr anwenden.

Meine erste Frage ist, ob ich da vielleicht zu kompliziert denke und man die Gleichung doch sehr einfach auslösen kann.
Das vermute ich nicht und deswegen wäre meine zweite Frage, ob die Gleichung überhaupt schriftlich zu lösen ist und in welchen schulischen Kenntnisbereich das einzuordnen wäre. Klassische Schulmathematik ist es mit Sicherheit nicht mehr, ich würde das eher als Hochschulniveau einordnen.

Wäre vielleicht jemand, der sich damit auskennt, so freundlich, mir ein paar Tipps zu geben? Ich habe mal etwas von "Austauschen", "Transformieren", oder "Ersetzen" gelesen, aber wie bereits gesagt, meine Mathekenntnisse sind auf dem Stand der 13. Klasse der gymnasialen Oberstufe. verwirrt

Ich freue mich auf eure Antworten :-)

Gruß Michael
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ein paar Fragen zu einer Gleichung
Zitat:
Original von questo
meine Mathekenntnisse sind auf dem Stand der 13. Klasse der gymnasialen Oberstufe. verwirrt

Na, die könnten durchaus auch für eine Idee reichen, die die Sache etwas einfacher macht.
Mit der Substitution

kann man die Gleichung

betrachten.
Mit dem Satz über rationale Nullstellen kommt man schnell auf eine Lösung , mit Rücksubstitution .
Diese Lösung von kann man dann von dem Term 4. Grades als Linearfaktor abspalten.
Die weitere Untersuchung ergibt, dass die verbleibende Gleichung 3. Grades nur noch eine negative reelle Lösung hat, die in der -Gleichung nicht definiert ist.
questo Auf diesen Beitrag antworten »

Verdammt, das ist schlau, also habe ich doch zu kompliziert gedacht smile
Dann kann man das tatsächlich recht einfach lösen.
Bliebe noch irgendeine Möglichkeit, diese Gleichung zu lösen, ohne sie in ihre Ursprungsform wieder umzuwandeln?

-x^4+36x²+x-324 = 0
klauss Auf diesen Beitrag antworten »

Die rationale Lösung x=4 findet man auch zu der längeren Gleichung ebenfalls durch gezieltes Probieren schnell.
Zudem steckt da noch eine weitere (irrationale) positive (Schein-)Lösung drin, die zu finden weniger bequem ist, falls man daran überhaupt interessiert ist.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Weshalb "Scheinlösung"?
Die zweite reelle Lösung ist zwar irrational, aber deshalb keine Scheinlösung, denn sie erfüllt die Gleichung ebenso.
(Es existieren 2 reelle und 2 komplexe Lösungen)

mY+
questo Auf diesen Beitrag antworten »

Über diese "komplexen Lösungen" würde ich echt gerne mehr erfahren. Mal schauen, ob ich noch so viel Interesse daran habe, wenn ich weiß, wie der komplexe Lösungsweg aussieht. Augenzwinkern
 
 
klauss Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Die zweite reelle Lösung ..... erfüllt die Gleichung ebenso.

Nicht die ursprüngliche Gleichung von questo.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von questo
...
Bliebe noch irgendeine Möglichkeit, diese Gleichung zu lösen, ohne sie in ihre Ursprungsform wieder umzuwandeln?

-x^4+36x²+x-324 = 0


Entschuldige bitte, ich dachte, es handelt sich um eine zweite - andere - Gleichung.
Natürlich kann es durch das Quadrieren der ursprünglichen Gleichung zu Scheinlösungen kommen!

mY+
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