Beweis: Verknüpfung einer Relation mit dem Schnitt zweier Relationen

03.01.2021, 04:43	Pepepuhn	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: Verknüpfung einer Relation mit dem Schnitt zweier Relationen Hallo, ich soll in einer Aufgabe folgende Operation mit Relationen beweisen ( $\begin{eqnarray} R,S,T \end{eqnarray}$ sind beliebige Relationen auf einer Menge $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ ): $\begin{eqnarray} R \circ (S \cap T) \subseteq (R \circ S) \cap (R \circ T) \end{eqnarray}$ In der Lösung ist folgender Beweis niedergeschrieben: $\begin{eqnarray} (x,y) \in R \circ (S \cap T) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \exists z \in M : (x,z) \in R \land (z,y) \in (S \cap T) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \exists z \in M : (x,z) \in R \land (z,y) \in S \land (x,z) \in R \land (z,y) \in T \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow (x,y) \in (R \circ S) \land (x,y) \in (R \circ T) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow (x,y) \in (R \circ S) \cap (R \circ T) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \blacksquare \end{eqnarray}$ Meine eigene Lösung ist gleich, mit dem einzigen Unterschied, dass ich anstelle von den Implikationen, Äquivalenzen zwischen jedem Beweisschritt verwendete. Da der Umkehrschluss meiner Meinung nach ja auch bei jedem Schritt zutrifft: $\begin{eqnarray} (x,y) \in R \circ (S \cap T) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \exists z \in M : (x,z) \in R \land (z,y) \in (S \cap T) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \exists z \in M : (x,z) \in R \land (z,y) \in S \land (x,z) \in R \land (z,y) \in T \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow (x,y) \in (R \circ S) \land (x,y) \in (R \circ T) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow (x,y) \in (R \circ S) \cap (R \circ T) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \blacksquare \end{eqnarray}$ Allerdings würde ja dann die Gleichheit $\begin{eqnarray} R \circ (S \cap T) = (R \circ S) \cap (R \circ T) \end{eqnarray}$ bewiesen werden, was ja laut meinem Lehrbuch nicht zutrifft. Wo liegt mein Fehler?
03.01.2021, 07:28	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Von unten nach oben existieren u und v, aber die können verschieden sein, die Existenz eines z ist nicht bewiesen. Mache ein Gegenbeispiel, und bestätige damit die Aussage deines Lehrbuches.
03.01.2021, 13:04	Pepepuhn	Auf diesen Beitrag antworten »
Meinst du mit u und v x und y? Wieso verschieden? In welcher Zeile genau, ist die Existenz von z nicht bewiesen?
03.01.2021, 17:54	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} M=\{u,v,x,y\}, R=\{(x,u),(x,v)\}, S=\{(u,y)\}, T=\{(v,y)\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x,y)\in (R\circ S)\cap (R\circ T)\Rightarrow (x,y)\in (R\circ S)\wedge (x,y)\in (R\circ T)\Rightarrow (\exists u\in M: (x,u)\in R\wedge (u,y)\in S)\wedge (\exists v\in M: (x,v)\in R\wedge (v,y)\in T) \end{eqnarray}$ und dann geht es nicht weiter, denn es gibt kein $\begin{eqnarray} z\in M \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} (x,z)\in R\wedge (z,y)\in S\wedge (x,z)\in R\wedge (z,y)\in T \end{eqnarray}$
06.01.2021, 23:04	Pepepuhn	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, danke. Ich habe es nun verstanden.

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