Vektorenrechnung - Eckpunkte eines Würfels berechnen.

03.01.2021, 20:56

hxrx.k

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Vektorenrechnung - Eckpunkte eines Würfels berechnen.

Meine Frage:
Hallo,
da ich mir bei einem Beispiel schwer tue, bitte ich euch um Hilfe.

Die Aufgabenstellung lautet:

Von einem Würfel kennt man den Eckpunkt A(4/3/4). Die Kante DH liegt auf der
Geraden g: X = (4/8/-6) + t (0/4/-3). Man berechne die Eckpunkte des Würfels und wähle
dabei jene Lösung, bei der die x-Koordinate des Punktes C negativ ist und die yKoordinate der Punktes H positiv.
[B(-1/3/4) C(-1/0/0) D(4/0/0) E(4/7/1) F(-1/7/1) G(-1/4/-3) H(4/4/-3)]

Meine Ideen:
Ich weiß echt gar nicht was ich machen könnte.

03.01.2021, 21:39

Helferlein

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Ich weiß nicht, ob es der einfachste Weg ist, aber ich würde zunächst D bestimmen aufgrund der Tatsache, dass AD orthogonal zu g ist.
Damit kannst Du die Seitenlänge bestimmen, die Du wiederum zur Berechnung von C verwenden kannst. (DC verläuft orthogonal zur Seite ADHE).
Der Rest ist dann einfache Vektorrechnung.

03.01.2021, 22:35

Ulrich Ruhnau

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RE: Vektorenrechnung - Eckpunkte eines Würfels berechnen.

Zitat:

Original von hxrx.k
Von einem Würfel kennt man den Eckpunkt A(4/3/4). Die Kante DH liegt auf der
Geraden g: X = (4/8/-6) + t (0/4/-3). Man berechne die Eckpunkte des Würfels und wähle
dabei jene Lösung, bei der die x-Koordinate des Punktes C negativ ist und die yKoordinate der Punktes H positiv.
[B(-1/3/4) C(-1/0/0) D(4/0/0) E(4/7/1) F(-1/7/1) G(-1/4/-3) H(4/4/-3)]

Mithilfe dieser Angaben konnte ich eine Grafik erstellen. Den Geradenabschnitt mit $\begin{eqnarray*} t\in [-2,0] \end{eqnarray*}$ habe ich durch rote Scatterpunkte angedeutet. [attach]52374[/attach][attach]52381[/attach]
Ich könnte mir vorstellen, daß die Aufgabe hier nicht im Original wiedergegeben wurde. Statt dessen wurde die Lösung in Form der sieben Punkte mitgeliefert. Es ist unmöglich, etwas zur Aufgaben zu sagen, wenn die Aufgabenstellung fehlt. Da hilft nur einscannen und hochladen.

PS: Grafik mit markierten Punkten hinzugefügt.

04.01.2021, 00:16

hariskdz

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Frage?

Zitat:

Original von Helferlein
Ich weiß nicht, ob es der einfachste Weg ist, aber ich würde zunächst D bestimmen aufgrund der Tatsache, dass AD orthogonal zu g ist.
Damit kannst Du die Seitenlänge bestimmen, die Du wiederum zur Berechnung von C verwenden kannst. (DC verläuft orthogonal zur Seite ADHE).
Der Rest ist dann einfache Vektorrechnung.

Hey, und wie genau kommt man denn auf D? LG smile

smile

Willkommen im Matheboard!
Du bist hier zweimal angemeldet, hxrx.k wird daher demnächst gelöscht.
Viele Grüße
Steffen

04.01.2021, 00:57

Helferlein

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Von einem Würfel kennt man den Eckpunkt A(4/3/4). Die Kante DH liegt auf der
Geraden g: X = (4/8/-6) + t (0/4/-3).

Der Verbindungsbektor von A zu einem Punkt der Geraden g lässt sich durch den Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0\\5+4t\\-10-3t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ darstellen. Dieser muss orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden sein. Wie man Orthogonalität zweier Vektoren prüft sollte bekannt sein.

Es entsteht also eine lineare Gleichung in t mit einer eindeutigen Lösung. Über diesen Verbindungsvektor kannst Du dann D bestimmen.

04.01.2021, 22:16

hariskdz

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Re:
Sehr nett, aber wie sind sie auf diesen Vektor denn gekommen ? LG

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04.01.2021, 22:35

mYthos

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Es ist der Vektor AX (--> X - A). Berechne diesen mittels X der Geraden g

04.01.2021, 23:26

hariskdz

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Re:
Dass mit dem Verbindungsvektor verstehe ich nun, jedoch weiß ich noch immer nicht wie ich dann auf D komme?

04.01.2021, 23:41

mYthos

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Welche Bedingung gilt für die Orthogonalität zweier Vektoren?
(Das skalare Produkt der beiden muss 0 sein)

Damit entsteht eine lineare Gleichung in t, die du nach t auflöst.
Nun ist t bekannt, setze es in die Geradengleichung ein, es ergibt sich der Punkt D, weil D ja auf g liegen soll.

mY+

05.01.2021, 00:07

hariskdz

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Re:
Danke, ich habe es endlich verstanden!
Ich wünsche Ihnen noch einen schönen Abend!
lG

05.01.2021, 00:42

mYthos

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Dir auch!
Übrigens ist t = -2

mY+

05.01.2021, 19:28

hariskdz

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Re:
Hey, könnten Sie mir vielleicht bei den anderen Punkten auch noch helfen? Wäre sehr nett Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wie man auf D kommt habe ich jetzt eh verstanden aber wie man die restlichen Punkte berechnet, fällt mir noch schwer. LG

05.01.2021, 20:05

mYthos

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Gut.
Wir duzen uns übrigens hier im Forum, es gibt kein Problem damit.
--------

Edit: Das Konzept mit den Ebenen wurde nachträglich etwas editiert.

Nun, nachdem D bekannt ist, kannst du mit der Länge von AD die Kantenlänge a des Würfels berechnen.
Damit kommen wir zum Punkt C. Dieser liegt einerseits in der Normalebene zu g durch D, andererseits in der Normalebene zu AD durch D. Von D aus wird auf deren Schnittgeraden die Länge a abgetragen.

Hinweis:
Es soll deswegen zuerst der Punkt C berechnet werden, weil für diesen noch eine Bedingung für x(C) angegeben ist und so aus den beiden möglichen Lagen für C die zutreffende auszuwählen ist.

B und die übrigen Punkte gehen dann relativ einfach.

Das ist mal das Konzept, schauen wir mal, wie weit du damit kommst. Wir begleiten dich natürlich bei weiteren Fragen.

mY+

05.01.2021, 20:57

mYthos

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Ein anderer Weg zu C (ohne Ebenen)
Ein anderer Weg - möglicherweise einfacher, ohne Rechnen mit Ebenen und Schnittgeraden - direkt zum Punkt C ist folgender:
Der Vektor DC ist senkrecht zu $\begin{eqnarray*} \vec{DA} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec g \end{eqnarray*}$ (dem Richtungsvektor der Geraden). Somit ist die Richtung von DC der Trägervektor
$\begin{eqnarray*} s \cdot \vec{DC} = \vec{DA} \times \vec g \end{eqnarray*}$ , also gleich dem Vektorprodukt von $\begin{eqnarray*} \vec{DA} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec g \end{eqnarray*}$ .

Der besonderen Angaben wegen ist auch das Ergebnis speziell , soll heissen sehr "schön".
Der Ergebnisvektor ist leicht zu normieren (auf die Länge 1 zu bringen) [(1|0|0)] und damit ist es auch leicht, mittels der Kantenlänge a zum Punkt C zu gelangen.
Da man nach beiden Seiten von D aus abtragen kann, wähle jenen Punkt, dessen x-Koordinate negativ ist. Es ergibt sich - alternativ zu (9|0|0) - der Punkt C(-1|0|0).

Der Punkt B folgt einfach durch Vektoraddition, der Punkt H liegt a Einheiten von D entfernt auf der Geraden.
Dazu ist der Richtungsvektor der Geraden ebenfalls zu normieren und dann von D aus die Kantenlänge a dorthin abzutragen, wo die y-Koordinate von H positiv ist.
Die restlichen Punkte E, F, G folgen wieder mittels Vektoraddition.

mY+

06.01.2021, 17:43

hariskdz

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Re:
Danke dir smile

smile

Problem ist nur, dass meine Lehrerin darauf besteht mit Ebenen und Schnittgeraden zu arbeiten. Deswegen würde ich gerne die erste Variante bevorzugen. Warum benötigt man a um auf C zu kommen verwirrt

verwirrt

Wie rechent man schnell nochmal mit Normalebenen Erstaunt1

Erstaunt1

Ich bin dir echt dankbar, dass du mir so gut weiterhilfst.
Lg

09.01.2021, 15:19

hariskdz

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Zitat:

Original von mYthos

Nun, nachdem D bekannt ist, kannst du mit der Länge von AD die Kantenlänge a des Würfels berechnen.
Damit kommen wir zum Punkt C. Dieser liegt einerseits in der Normalebene zu g durch D, andererseits in der Normalebene zu AD durch D. Von D aus wird auf deren Schnittgeraden die Länge a abgetragen.
Hinweis:
Es soll deswegen zuerst der Punkt C berechnet werden, weil für diesen noch eine Bedingung für x(C) angegeben ist und so aus den beiden möglichen Lagen für C die zutreffende auszuwählen ist.

mY+

Hey danke dir, ich komme irgendwie mit dem Fett makierten nicht klar. verwirrt

verwirrt

Wie bekommt man denn die Normalebene? Und wie die Schnittgerade?
LG

09.01.2021, 17:21

mYthos

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Mit den Ebenen ist es - hier infolge der speziellen Angaben - auch ganz nett.

Wir ermitteln eune neue Gerade g1 (= DC), auf der der gesuchte Punkt C liegt als Schnitt folgender beiden Ebenen:

E1: Normalebene zu g durch D, das ist die Basisebene, deren Normalvektor ist der Richtungsvektor von g = (0 | 4 | -3)
E2: Normalebene zu AD durch D, deren Normalvektor ist DA= (0 | 3 | 4)

Damit lauten deren Gleichungen:
E1: 4y - 3z = 0
E2: 3y + 4z = 0

Kannst du erstens diese Gleichungen nachrechnen bzw. selbst berechnen und zweitens, nun deren Schnittgerade (g1) bestimmen?

Auf dieser liegt C, diesen Punkt bekommst du, indem du von D aus die Seitenlänge (Kantenlänge) a abträgst. Hast du schon a bestimmt? Wie funktioniert das Abtragen einer wahren Länge?

Bei weiteren Fragen helfen wir dir natürlich weiter.

[attach]52426[/attach]

mY+

10.01.2021, 14:31

hariskdz

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Edit (mY+): Vollzitat entfernt. Bitte verwende zur Antwort NICHT den Zitat-, sondern den Antwort-Button!

Danke Gott

Gott

Warum benötigt man nur den Normalvektor um die Ebenen zu ermitteln. Fehlt nicht der Ortsvektor oder der Richtungsvektor? Wie funktioniert denn das abtragen von wahren Längen ? verwirrt

verwirrt

10.01.2021, 17:24

mYthos

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Der Normalvektor alleine macht es noch nicht, klar brauchst du noch einen (beliebigen) Punkt (D) der Ebene.

In die Normalvektorform $\begin{eqnarray*} \vec n \cdot \vec X = c \end{eqnarray*}$ setzt du noch die Koordinaten von D (oder A) ein, damit ist mit $\begin{eqnarray*} c_1 = \vec n \cdot \vec D \end{eqnarray*}$ die Gleichung $\begin{eqnarray*} \vec n \cdot \vec X = c_1 \end{eqnarray*}$ der Ebene bestimmt.

Beim Abtragen der Länge a auf dem Vektor $\begin{eqnarray*} \vec g \end{eqnarray*}$ muss man den Vektor $\begin{eqnarray*} \vec g \end{eqnarray*}$ erst normieren (auf die Länge 1 bringen*), damit entsteht der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec {g_0} \end{eqnarray*}$ .
Danach wird dieser Vektor mit a multipliziert und an den Ortsvektor von D angehängt (beide Richtungen möglich).

$\begin{eqnarray*} \vec H = \vec D \pm a \cdot \vec{g_0} \end{eqnarray*}$

(*) $\begin{eqnarray*} \vec {g_0} = \frac 1 {|\vec g|} \vec g \end{eqnarray*}$

mY+

10.01.2021, 18:27

hxrx.k

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RE: Ein anderer Weg zu C (ohne Ebenen)

Zitat:

Original von mYthos
Ein anderer Weg - möglicherweise einfacher, ohne Rechnen mit Ebenen und Schnittgeraden - direkt zum Punkt C ist folgender:
Der Vektor DC ist senkrecht zu $\begin{eqnarray*} \vec{DA} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec g \end{eqnarray*}$ (dem Richtungsvektor der Geraden). Somit ist die Richtung von DC der Trägervektor
$\begin{eqnarray*} s \cdot \vec{DC} = \vec{DA} \times \vec g \end{eqnarray*}$ , also gleich dem Vektorprodukt von $\begin{eqnarray*} \vec{DA} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec g \end{eqnarray*}$ .
...
EDIT (mY+): Teile des Zitats entfernt.
mY+

Ich habe noch eine Frage zu dem Rechenweg... Was ist s???

10.01.2021, 18:43

mYthos

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s ist ein Multiplikator von DC, also ist das Vektorprodukt ein Vielfaches von DC.
Denn das Vektorprodukt* ist ja nicht gerade DC, sondern gibt nur die Richtung von DC an.

(*)
Dessen Betrag ist gleich dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogrammes).

Nochmals die Bitte, mit dem Zitieren sparsam umzugehen.

mY+

10.01.2021, 18:49

hxrx.k

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Ja danke, jetzt weiß ich aber nicht genau wie du auf (9|0|0) kommst?

10.01.2021, 19:00

mYthos

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Das Kreuzprodukt $\begin{eqnarray*} \vec {DA} \times \vec g \end{eqnarray*}$ ist der Vektor (-25 | 0 | 0) [das hättest eigentlich DU berechnen sollen!],
normiert ist er dann (-1 | 0 | 0), in der anderen Richtung (1 | 0 | 0).
Nun trage das a-fache (wie groß ist denn a, das hast du noch immer nicht gesagt) von D(4 | 0 | 0) aus in beide Richtungen ab ...

mY+

10.01.2021, 19:09

hxrx.k

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Also a ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{25} \end{eqnarray*}$

10.01.2021, 19:40

hxrx.k

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und das 5-fache von (-1|0|0) und (1|0|0) ist (-5|0|0) und (5|0|0)

stimmt und dann D abziehen kommt man auf C(-1|0|0)

10.01.2021, 20:09

mYthos

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So ist es! smile

smile

mY+

11.01.2021, 10:04

Steffen Bühler

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Wie schon gesagt, wird der Account hxrx.k jetzt gelöscht, es sei denn, Du willst diesen behalten. In diesem Fall wird hariskdz gelöscht.

Viele Grüße
Steffen

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