Darstellende Matrix berechnen; gegebene Basen zu kurz?

03.01.2021, 22:03

s1l3nc3

Darstellende Matrix berechnen; gegebene Basen zu kurz?

Meine Frage:
Hallo, ich bin neu hier und habe eine Frage zu einer Aufgabe.
Entschuldigt bitte schon mal die Formatierung. Da ich mit LateX noch nicht sehr vertraut bin, habe ich versucht die Formeln mithilfe von einfachen Tastatursymbolen auszudrücken.

Die gesamte Aufgabenstellung ist im angehängten Bild zu sehen.
Es geht um den Aufgabenteil a). Dort soll man die angegebenen darstellenden Matritzen berechnen.

Mit der Matrix M B2/B1 (das soll hier B2 über B1 heißen) (idV) hatte ich keine Probleme.

Sei hier S die Standardbasis von V.

Denn es gilt: M B2/B1 (idV) = M S/B1 (idV) * M B2/S (idV).
Außerdem gilt: M S/B1 (idV) = M B1/S (idV)^-1 (M S/B1 (idV) ist M B1/S (idV) invertiert).

Nunn ließen sich M B2/S (idV) und M B1/S (idV)^-1 leicht bestimmen.
M B2/S (idV) durch ablesen (da sich wegen der Identität nichts ändert)und M B1/S (idV)^-1 ebenfalls durch ablesen und dann invertieren mittels Gauß-Verfahren.
Dann habe ich M B1/S (idV)^-1 und M B2/S (idV) multipliziert und das ergab natürlich M B2/B1 (idV). Hier bin ich mir sehr sicher, weil ich die Prode gemacht habe und dort alles stimmig war.

Nun zum eigentlichen Problem. Wie in der Aufgabenstellung zu sehen sind dort für W zwei Basen angegeben, die jeweils aus drei 2x2 Matritzen bestehen. Ich muss nun M C1/C2 (idW) berechnen, wobei ich nicht weiterkomme, weil bei mir für M C2/S (idW) eine nicht-quadratische Matrix rauskommt, die ich ja dann nicht invertierbar ist, da nicht quadratisch.
(Sei S hier im zweiten Beispiel die Standardbasis von W.)

Ich danke allen, die sich Mühe machen sich das ganze durchzulesen und vor allem denen, die konstruktive Vorschläge oder Tipps parat haben.

Meine Ideen:
Wenn ich alles richtig verstanden habe, muss gelten:
M C1/C2 (idW) = M S/C2 (idW) * M C1/S (idW) also:
M C1/C2 (idW) = M C2/S (idW)^-1 * M C1/S (idW)

Mein Problem ist aber, dass bei mir für M C2/S (idW) immer eine nicht-quadratische 4x3 Matrix rauskommt.
Ich rechne so, dass ich auf die Matritzen von C2 die Abbildung von W nach W anwende. Dann bekomme ich, der Abbildung entsprechend erstmal drei 2x2 Matritzen heraus. Die Matritzen schreibe ich dann jeweils als Spalten in eine größere Matrix 8das wurde uns im Tutorium genauso gezeigt), die 4x3 groß ist und die M C2/S (idW) entsprechen sollte.

Ich hatte schon die Idee die Basis C2 um eine 2x2 Matrix erweitere, z. B. eine 2x2 Einheitsmatrix, aber wäre es ohne weiteres möglich ohne die gegebene Basis C2 zu verändern?

Ich hoffe jemand kann mir helfen, ich stehe gerade auf dem Schlauch.
Ich wäre für jeden Tipp oder Rat dankbar.
(Vielleicht habe ich das im Tutorium doch falsch verstanden oder mein Ansatz ist ganz falsch?)

03.01.2021, 22:17

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Darstellende Matrix berechnen; gegebene Basen zu kurz?
Was ist denn die Standardbasis von W?

04.01.2021, 10:26

s1l3nc3

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Darstellende Matrix berechnen; gegebene Basen zu kurz?
Wenn ich mich nicht iree, besteht die Standardbasis von W aus $\begin{eqnarray*} \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array}\right) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \left( \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{array}\right) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \left( \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ \end{array}\right) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \left( \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

Die Standardbasis besteht aus vier Matritzen und die gegebenen Basen C1 und C2 bestehen aus drei. Das ist das was mich irritiert.

04.01.2021, 11:17

PWM

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Darstellende Matrix berechnen; gegebene Basen zu kurz?
Hallo,

beachte, dass W - nur - aus symmetrischen Matrizen besteht.

Gruß pwm

04.01.2021, 11:26

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Du mußt beachten, daß $\begin{align*} W \end{align*}$ nur symmetrische Matrizen enthält und damit dreidimensional ist.

$\begin{align*} \operatorname{id}_W \end{align*}$ bildet die erste Matrix in $\begin{align*} \mathcal{C}_1 \end{align*}$ auf sich selber ab. Diese Matrix muß nun als Linearkombination der Matrizen von $\begin{align*} \mathcal{C}_2 \end{align*}$ geschrieben werden. Wir suchen also Skalare $\begin{align*} \alpha, \beta, \gamma \end{align*}$ mit

$\begin{align*} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = \alpha \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 6 & 2 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 4 & 4 \end{pmatrix} + \gamma \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \end{align*}$

Ein Koeffizientenvergleich liefert die drei Gleichungen (zwei der vier Gleichungen fallen wegen der Symmetrie der Matrizen zusammen)

$\begin{align*} \text{(1)} \ \ 4 \alpha + 6 \gamma = 1 \end{align*}$
$\begin{align*} \text{(2)} \ \ 2 \alpha + 4 \beta + 4 \gamma = 3 \end{align*}$
$\begin{align*} \text{(3)} \ \ 6 \alpha + 4 \beta = 2 \end{align*}$

Dieses lineare Gleichungssystem kann man auch in Matrizenform schreiben:

$\begin{align*} \begin{pmatrix} 4 & 0 & 6 \\ 2 & 4 & 4 \\ 6 & 4 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{align*}$

Mit den Werten für $\begin{align*} \alpha, \beta, \gamma \end{align*}$ hast du die erste Spalte deiner Darstellungsmatrix. Entsprechend findest du die zweite und die dritte Spalte.
Insgesamt hast du daher drei lineare Gleichungssysteme zu lösen. Diese drei linearen Gleichungssysteme wiederum lassen sich zu einer Matrizengleichung zusammenfassen.

$\begin{align*} \begin{pmatrix} 4 & 0 & 6 \\ 2 & 4 & 4 \\ 6 & 4 & 0 \end{pmatrix} \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 3 & 5 & 5 \\ 2 & 6 & 6 \end{pmatrix} \end{align*}$

Die Matrix $\begin{align*} A \end{align*}$ ist die gesuchte Darstellungsmatrix von $\begin{align*} \operatorname{id}_W \end{align*}$ bezüglich der Basen $\begin{align*} \mathcal{C}_1 \end{align*}$ im Urbildraum und $\begin{align*} \mathcal{C}_2 \end{align*}$ im Bildraum.

04.01.2021, 11:39

s1l3nc3

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Darstellende Matrix berechnen; gegebene Basen zu kurz?

Zitat:

Original von PWM
Hallo,

beachte, dass W - nur - aus symmetrischen Matrizen besteht.

Gruß pwm

Bedeutet das, dass die Standardbasis von W nicht aus vier, sondern aus zwei Matritzen besteht?
Also: $\begin{eqnarray*} \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array}\right) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \left( \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

Weil die Matritzen $\begin{eqnarray*} \left( \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{array}\right) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \left( \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ \end{array}\right) \end{eqnarray*}$
nicht symmetrisch sind?

04.01.2021, 11:50

s1l3nc3

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Darstellende Matrix berechnen; gegebene Basen zu kurz?

Zitat:

Original von s1l3nc3

Zitat:

Original von PWM
Hallo,

beachte, dass W - nur - aus symmetrischen Matrizen besteht.

Gruß pwm

Oder wären diese Matritzen als Standardbasis richtig? $\begin{eqnarray*} \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array}\right) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \left( \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{array}\right) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \left( \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

Jeder dieser drei Matritzen ist symmetrisch und dann hätte die Standardbasis drei Elemente.

04.01.2021, 12:07

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{align*} W \end{align*}$ ist kein Standardraum. Also gibt es auch keine Standard-Basis. Wie es geht, habe ich dir in meinem Beitrag gezeigt.

04.01.2021, 12:10

s1l3nc3

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
$\begin{align*} W \end{align*}$ ist kein Standardraum. Also gibt es auch keine Standard-Basis. Wie es geht, habe ich dir in meinem Beitrag gezeigt.

Danke.
Dann gibt es nur diesen einen Weg die Aufgabe zu lösen?

04.01.2021, 12:24

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Viele Wege führen nach Rom. Aber nicht alle. Einen Weg nach Rom habe ich dir gezeigt. Vielleicht gibt es noch andere, aufregendere, spannendere, kürzere, landschaftlich schönere. Was weiß ich.

04.01.2021, 12:30

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Vollständigkeit halber sei noch bestätigt, dass die drei Matrizen $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 1\\1&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ tatsächlich eine Basis von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ bilden

04.01.2021, 12:34

s1l3nc3

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von URL
Der Vollständigkeit halber sei noch bestätigt, dass die drei Matrizen $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 1\\1&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ tatsächlich eine Basis von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ bilden

Vielen Dank! Das hilft mir sehr weiter.

Neue Frage »

Antworten »

Darstellende Matrix berechnen; gegebene Basen zu kurz?

Verwandte Themen