Mittleres monatliches Einkommen

04.01.2021, 01:46

Student1011

Mittleres monatliches Einkommen

Liebes Forum,

es geht um folgene Aufgabe:

'' Bei einer Umfrage unter 5025 Famillien haben 550 Familien angeben, dass sie pro Monat weniger als 1000 Euro verdienen. " 210 Familien dagegen gaben an, dass suie mehr als 6000 Euro pro Monat bekommen. Wie hoch ist demnach der mittlere monatliche Einkommen und die Standartabweichung der Bundesbürger, wenn man annimmt, dass das Einkommen normalverteilt sind ?''

Also gesucht sind dem nach das u, somit der Mittelwert und das Sigma die Standartabweichung. Jedoch komm ich auf einen Mittelwert von 2381.57 Euro.

Die Lösungen sind wie folgt:

u= 3077 Euro
sigma = 1689 Euro

Wie komme ich aber auf diese ?

Ich bin auch etwas verwirrt, da ja im Aufgabentext Normalverteilung steht und ich die Normalverteilung nach Gauß angenommen habe. Aber irgendwie, kann ich mit diesen Parametern nichts anfangen. Ich hoffe, ihr könnt mir da helfen.

Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen

04.01.2021, 09:22

Steffen Bühler

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RE: Mittleres monatliches Einkommen
Willkommen im Matheboard!

Mit dieser Tabelle solltest Du leicht auf die Lösung kommen. Falls es da Schwierigkeiten gibt, melde Dich.

Viele Grüße
Steffen

04.01.2021, 12:57

HAL 9000

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Dem Aufgabentext kann man unter Verwendung der Standardnormalverteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ zwei Gleichungen entnehmen:

$\begin{eqnarray*} \Phi\left( \frac{1000-\mu}{\sigma} \right) = \frac{550}{5025} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1-\Phi\left( \frac{6000-\mu}{\sigma} \right) = \frac{210}{5025} \end{eqnarray*}$ .

Mit den Normalverteilungsquantilen $\begin{eqnarray*} z_{\alpha}=\Phi^{-1}\left(\alpha\right) \end{eqnarray*}$ bedeutet das umgestellt

$\begin{eqnarray*} 1000 = \mu + \sigma\cdot z_{\frac{550}{5025}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6000 = \mu + \sigma\cdot z_{\frac{4815}{5025}} \end{eqnarray*}$

Mit dem Hinweis von Steffen kannst du diese beiden $\begin{eqnarray*} z_{\alpha} \end{eqnarray*}$ bestimmen, und anschließend das somit entstandene 2x2-lineare Gleichungssystem für die Unbekannten $\begin{eqnarray*} \mu,\sigma \end{eqnarray*}$ lösen.

04.01.2021, 17:18

Student1011

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Vielen Dank für euere Antworten, jedoch scheitert es bei mir noch zum bearbeiten der Aufgabe. Die erste Gleichung kann ich nachvollziehen, jedoch die zweite nicht, da hier vor dem z der Faktor von 4815/5025. Wie kommt man auf den ?

Dann kann ich habe ich zwar versucht aus der Tabelle die jeweiligen Faktoren zu ermitteln, jedoch komm ich auf was ganz anders. Und irgendwie verwirrt es mich total, da es ja mehere Tabellen gibt.

Zu einem die Kumulative Verteilungsfunktion, Quantil z zur Wahrscheinlichkeit 1-a/2, unteres Quantil sowie oberes Quanti.

Und da weiß ich jetzt nicht wie ich diese jeweiligen Werte ablesen soll.

Ich muss auch ehrlich sagen, dass ich mit Statistik überhaupt nichts zutun hatte. Ich bin daher also ein kompletter Newbie.

04.01.2021, 17:27

Steffen Bühler

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Wenn Du die erste Gleichung nachvollziehen kannst (etwa 10,9% verdienen weniger), ist die zweite nicht schwer (etwa 4,2% verdienen mehr, also verdienen etwa 95,8% weniger).

Mit diesen zwei Prozentangaben gehst Du in die Tabelle und suchst jeweils das zugehörige z.

04.01.2021, 18:01

Leopold

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RE: Mittleres monatliches Einkommen

Zitat:

Original von Student1011
... und die Standartabweichung ... und das Sigma die Standartabweichung ...

Und HAL hat nichts dazu gesagt. Ja, irgendwann gibt man halt auf ... Augenzwinkern

Standartabweichung? - Standardabweichung!

04.01.2021, 22:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von Student1011
da hier vor dem z der Faktor von 4815/5025. Wie kommt man auf den ?

Da lässt man mal eine winzige Umformung weg, und schon streckt da einer die Waffen... Die Gleichung $\begin{eqnarray*} 1-\Phi\left( \frac{6000-\mu}{\sigma} \right) = \frac{210}{5025} \end{eqnarray*}$ umgestellt ergibt
$\begin{eqnarray*} \Phi\left( \frac{6000-\mu}{\sigma} \right) = 1-\frac{210}{5025} = \frac{5025-210}{5025} = \frac{4815}{5025} \end{eqnarray*}$ .

06.01.2021, 18:02

Student1011

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Leider habe ich trotzt bemühen die Werte nicht herauslesen können. Ich weis, dass ich für die erste Gleichung ein $\begin{eqnarray*} z_1=-11.23 \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} z_2=1.80 \end{eqnarray*}$ herausbekommen muss.

Für die zweite Gleichung rechne ich ja zuerst $\begin{eqnarray*} \frac{4815}{5025} \end{eqnarray*}$ damit ist mein $\begin{eqnarray*} \Phi(z)_2=0.95 \end{eqnarray*}$ ein Blick in die Tabelle und daraus ergibt sich der Wert von zu $\begin{eqnarray*} z_2=1.74 \end{eqnarray*}$ . Ich denke das müsste soweit stimmen.

Aber für die erste Gleichung rechne ich ja $\begin{eqnarray*} \frac{550}{5025} \end{eqnarray*}$ und daraus ergibt sich ein $\begin{eqnarray*} \Phi(z)_1=0.11 \end{eqnarray*}$ und dafür gibt es in der Tabelle keinen zugehörigen z Wert.

Vielleicht kann mir jemand eine Anleitung schrieben für Dummies verwirrt

06.01.2021, 20:29

Steffen Bühler

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Das liegt daran, dass die Tabelle nur positive z-Werte hat. Denn die Glocke ist symmetrisch, und von links bis zur Fläche 0,11 ist daher dasselbe wie von rechts bis zur Fläche 1-0,11. Wie es auch da steht: $\begin{eqnarray*} \Phi(-z)=1-\Phi(z) \end{eqnarray*}$ .

Wo musst Du also nachschauen?

06.01.2021, 21:38

Student1011

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Hmm, hab gerade nochmal die Aufgabe versucht. Stimmt wenn ich das tue, dann bekomme ich für $\begin{eqnarray*} \Phi(z)_1=0.89 \end{eqnarray*}$ und aus der Tabelle kann dann ablesen, dass mein $\begin{eqnarray*} z_1=1.24 \end{eqnarray*}$ sein muss.

$\begin{eqnarray*} (1): 1000 = \mu+\sigma z_1\frac{550}{5025} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2): 6000 = \mu+\sigma z_2\frac{4815}{5025} \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} z_1=1.24 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_2=1,74 \end{eqnarray*}$ bekomme ich jedoch nicht das richtige Ergebnis.

PS: Sry für die Kopfschmerzen die ich euch bereite.

06.01.2021, 21:44

Steffen Bühler

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In Gleichung 1 muss ja auch ein Minus stehen.

06.01.2021, 21:53

Student1011

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Zitat:

In Gleichung 1 muss ja auch ein Minus stehen.

Ohh, stimmt. Wenn ich das so rechne, bekomm ich dann das richtige Ergebnis raus. Aber ich verstehe nicht warum ich $\begin{eqnarray*} z_1 \end{eqnarray*}$ mit negativem Vorzeichen in die Gleichung einsetzen muss. Wo es doch einen positiven Wert hat. Liegt das etwa auch an der Symmetrie ?

06.01.2021, 21:57

Steffen Bühler

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Ja, genau daran. Die z-Achse der Glocke läuft von $\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ . Sie ist also für z=0 symmetrisch, dort ist die Fläche entsprechend 50%. Und die Geringverdiener sind nun mal links von der Mitte.

Viele Grüße
Steffen

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