Flächensatz Logarithmische Spirale

04.01.2021, 07:48

Physiker2020

Flächensatz Logarithmische Spirale

Hallo liebes Forum,

es geht um folgendes Problem:
Sie beobachten, dass sich ein Teilchen in der x-y-Ebene auf einer logarithmischen Spirale
$\begin{eqnarray*} \vec r(\varphi)=R_{0}\mathrm{e}^{-\lambda\varphi}\vec e_{r} \end{eqnarray*}$

mit Anfangsradius $\begin{eqnarray*} R_{0} \end{eqnarray*}$ und Bahnparameter $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ bewegt.

a) Um welchen Faktor verringert sich der Abstand r bei einem Umlauf?
b) Um welchen Faktor verringert sich die Umlaufzeit mit jedem Umlauf? (Tipp: Zweites Keplersches Gesetz)

Meine Ideen:
a)

$\begin{eqnarray*} \frac{r(\varphi+2\pi)}{r(\varphi)}=\frac{R_{0}\mathrm{e}^{-\lambda(\varphi+2\pi)}}{R_{0}\mathrm{e}^{-\lambda\varphi}}=\mathrm{e}^{-2\pi\lambda} \end{eqnarray*}$

b) Bei dieser Aufgabe sagt die Musterlösung $\begin{eqnarray*} \exp(-4\pi\lambda) \end{eqnarray*}$ mit der Begründung einfach den Faktor aus der vorherigen Aufgabe zu quadrieren... Ich habe versucht dies rechnerisch nachzuvollziehen, komme aber nicht ganz auf das gleiche... und weiß nicht so ganz, wo mein Fehler liegt

Ich habe zuerst versucht mit dem Flächensatz (2. Kepler-Gesetz) zu arbeiten.

Dazu habe ich nach dem Keplerschen Gesetz folgende Gleichnung aufgestellt:

$\begin{eqnarray*} \frac{A(\varphi+2\pi)}{A(\varphi)}=\frac{T(\varphi+2\pi)}{T(\varphi)} \end{eqnarray*}$

Im nächsten Schritt habe ich mir die Fläche mittels Integration berechnet:

$\begin{eqnarray*} A(\varphi)=\int\limits_{0}^{\varphi}\int\limits_{0}^{r(\varphi)}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi<br /> =\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\varphi}r^{2}(\varphi)\mathrm{d}\varphi<br /> =\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\varphi}R_{0}^2\mathrm{e}^{-2\lambda\varphi}\mathrm{d}\varphi<br /> =-\frac{R_{0}^2}{4\lambda}(\mathrm{e}^{-2\lambda\varphi}-1)<br /> \end{eqnarray*}$

Wenn ich das nun in die obige Gleichung einsetze erhalte ich folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{A(\varphi+2\pi)}{A(\varphi)}=\frac{\mathrm{e}^{-2\lambda(\varphi+2\pi)}-1}{\mathrm{e}^{-2\lambda\varphi}-1} \end{eqnarray*}$

Wäre nicht die -1 im Zähler und Nenner würde es ja nach Musterlösung stimmen... Was habe ich also falsch gemacht?

04.01.2021, 08:44

Ulrich Ruhnau

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RE: Flächensatz Logarithmische Spirale
1. Die Spiralbewegung läßt sich nur durch Reibung erklären. Wenn Reibung auftritt, kann man nicht mehr vom Impulserhaltungssatz ausgehen. Ohne den Impulserhaltungssatz gilt aber das zweite Keplersche Gesetz nicht mehr.

2. Nach dem, was Du angegeben hast, ist Deine Lösung für a richtig.

3. Das sieht eher wie eine physikalische Aufgabe aus. Sie gehört in ein anderes Forum, da hier keine rein mathematische Aufgabenstellung vorliegt.

04.01.2021, 15:59

IfindU

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RE: Flächensatz Logarithmische Spirale
Das sieht alles gut aus. Der Fehler liegt hier:

Zitat:

Original von Physiker2020
$\begin{eqnarray*} A(\varphi)=\int\limits_{0}^{\varphi}\int\limits_{0}^{r(\varphi)}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi \end{eqnarray*}$

Dein $\begin{eqnarray*} A(\varphi) \end{eqnarray*}$ ist die Fläche vom Winkel 0 bis $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ . Dein $\begin{eqnarray*} A(\varphi+2\pi) \end{eqnarray*}$ ist dann die Fläche vom Winkel 0 bis $\begin{eqnarray*} \varphi + 2\pi \end{eqnarray*}$ . Was du eigentlich wolltest sind die Laufzeiten vom Winkel $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \varphi + 2\pi \end{eqnarray*}$ .

04.01.2021, 17:12

Physiker2020

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@IfindU Vielen Dank für Deine Antwort!

Ich habe deinen Tipp verwendet und komme auf das richtige Ergebnis!

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