Winkelfunktions-Gleichung auflösen

05.01.2021, 01:21

Protolus

Winkelfunktions-Gleichung auflösen

Kann man diese Gleichung nach x auflösen?
Kenne keine und habe keine Rechenregel für Winkelfunktionen gefunden, die mir hier weiterhelfen könnte!!
Wolfram kommt mit "überschrittener Rechenzeit" und kein anderes Gleichungsumstellungsprogramm, das ich im Internet finden konnte, kann diese Gleichung nach x auflösen.

arcsin(B - sin(x + n * t)) - arcsin(A - sin(x)) = n

05.01.2021, 04:19

V79

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RE: Winkelfunktions-Gleichung auflösen
Du kannst diese Gleichung algebraisch nicht nach x umstellen.
Verwende ein Näherungsverfahren, wenn die Zahlenwerte für die anderen Variablen
bekannt sind.

05.01.2021, 12:13

HAL 9000

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Zitat:

Original von V79
Du kannst diese Gleichung algebraisch nicht nach x umstellen.

Naja, ganz so früh muss man hier nicht aufgeben: Durch einige (z.T. auch nichtäquivalente) Umformungen sowie Einsatz von Additionstheoremen kommt man auf eine algebraische Gleichung für $\begin{eqnarray*} \sin(x) \end{eqnarray*}$ - wenn ich es richtig überblicke, eine Gleichung vierten Grades.

05.01.2021, 12:19

Protolus

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RE: Winkelfunktions-Gleichung auflösen
Die anderen Werte sind alle bekannt.
Mein Problem ist, dass ich in einem Softwareauftrag mit etwas Termindruck stecke.
Habe mich bisher leider noch nicht tiefer mit Näherungsverfahren beschäftigt.
Auch nichtäquvalente Umformungen und Additionstheoreme sind mir nicht mehr ganz geläufig.
Für ein paar Tips, die die Einarbeitung in diese Themen etwas verkürzen, wäre ich echt dankbar.

05.01.2021, 12:21

Leopold

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Diese Gleichung wird wohl ein Zwischenergebnis bei der Lösung eines Problems sein. Oft schon ist es in ähnlichen Fällen vorgekommen, daß bis zu einem solchen Zwischenergebnis Rechen- und Denkfehler gemacht wurden, die das Zwischenergebnis hinfällig machten. Vielleicht ist das auch hier der Fall. Insofern wäre es nützlich zu wissen, was das ursprüngliche Problem war, das auf diese Gleichung geführt hat.

05.01.2021, 12:27

Steffen Bühler

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Ansonsten kannst Du im einfachsten Fall unseren Plotter nehmen und reinzoomen. Hier mal mit allen Parametern auf Eins:

Viele Grüße
Steffen

PS: Aus unseren Nutzungsbedingungen:

Zitat:

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05.01.2021, 12:41

Protolus

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A, B, n, t sind bekannt.

Ich habe zwei Gleichungen für die Werte A und B:

A = sin(a) + sin(x)

B = sin(a+n) + sin(x+n*t)

Die habe ich auf folgende Weise umgestellt:

a = arcsin(A-sin(x))

B = sin(arcsin(A-sin(x))+n) + sin(x+n*t)

B - sin(x+n*t) = sin(arcsin(A-sin(x))+n)

arcsin(B-sin(x+n*t)) = arcsin(sin(arcsin(A-sin(x))+n))

arcsin(B-sin(x+n*t)) = arcsin(A-sin(x))+n

Wenn ich dabei keinen Fehler gemacht habe, sollte

arcsin(B-sin(x+n*t))-arcsin(A-sin(x)) = n

rauskommen.

Meine Idee war, dass, wenn alle "x" auf einer Seite sind, es einen Weg
geben könnte, die arcsin-Subtraktion soweit aufzudröseln, dass man irgendwie an "x" heran kommt.

05.01.2021, 21:29

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

verbessertes Original von Protolus
$\begin{eqnarray*} A, B, n, t \end{eqnarray*}$ sind bekannt.

Ich habe zwei Gleichungen für die Werte $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} A = \sin(a) + \sin(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B = \sin(a+n) + \sin(x+nt) \end{eqnarray*}$

Damit man nach $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auflösen kann, sollte man zunächst noch nicht an den $\begin{eqnarray*} \arcsin \end{eqnarray*}$ denken, sondern lieber tief in die trigonometrische Trickkiste greifen. Es gilt u.a.:

$\begin{eqnarray*} \sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}2\cos\frac{\alpha-\beta}2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}2\sin\frac{\alpha-\beta}2 \end{eqnarray*}$

Dann ist z.B:

$\begin{eqnarray*} B-A=\sin(a+n)-\sin(a)+\sin(x+nt)-\sin(x) \end{eqnarray*}$ daraus wird dann mit $\begin{eqnarray*} \alpha=a+n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta=a \end{eqnarray*}$ bzw: $\begin{eqnarray*} \alpha=x+nt \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta=x \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} B-A=2\cos\left(a+\frac n2\right)\sin\left(\frac n2\right)+2\cos\left(x+\frac {nt}2\right)\sin\left(\frac{nt}2\right) \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} B+A=\sin(a+n)+\sin(a)+\sin(x+nt)+\sin(x) \end{eqnarray*}$ daraus wird dann mit $\begin{eqnarray*} \alpha=a+n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta=a \end{eqnarray*}$ bzw: $\begin{eqnarray*} \alpha=x+nt \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta=x \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} B+A=2\sin\left(a+\frac n2\right)\cos\left(\frac n2\right)+2\sin\left(x+\frac {nt}2\right)\cos\left(\frac{nt}2\right) \end{eqnarray*}$

Ab hier müßte ich selber noch mal überlegen, ob und wie man hier weitermacht. verwirrt

06.01.2021, 13:57

HAL 9000

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Nicht übel, diese Idee der "Symmetrisierung" der beiden Gleichungen. Mit Substitution $\begin{eqnarray*} y=x+\frac{nt}{2} \end{eqnarray*}$ sowie den vorberechenbaren Konstanten $\begin{eqnarray*} u=\frac{\sin\left(\frac{nt}{2}\right)}{\sin\left(\frac{n}{2}\right)} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} v=\frac{\cos\left(\frac{nt}{2}\right)}{\cos\left(\frac{n}{2}\right)} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} r = \frac{B-A}{2\sin\left(\frac{n}{2}\right)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s = \frac{B+A}{2\cos\left(\frac{n}{2}\right)} \end{eqnarray*}$ wird daraus

$\begin{eqnarray*} r-u\cos(y) = \cos\left(a+\frac{n}{2}\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s-v\sin(y) = \sin\left(a+\frac{n}{2}\right) \end{eqnarray*}$

Quadriert und summiert hat man $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ eliminiert und landet man bei

$\begin{eqnarray*} r^2 -2ru\cos(y) + u^2\cos^2(y) +s^2- 2sv\sin(y)+v^2\sin^2(y) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (u^2-v^2)\cos^2(y) -2ru\cos(y)+ r^2 +s^2 +v^2-1 = 2sv\sin(y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left((u^2-v^2)\cos^2(y) -2ru\cos(y)+ r^2 +s^2 +v^2-1\right)^2 = 4s^2v^2\left(1-\cos^2(y)\right) \end{eqnarray*}$

Das ist eine Gleichung vierten Grades für die Variable $\begin{eqnarray*} z=\cos(y) \end{eqnarray*}$ , wie von mir gestern angedeutet.

06.01.2021, 15:56

mYthos

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Für die Gleichung 4. Grades nimmt man ein CAS.

Da kann man natürlich auch gleich hinterfragen, ob nicht von Vornherein ein CAS zu verwenden wäre.
Die goniometrische Gleichung ist dann zwar exakt nach einer Variablen bestimmt, allerdings stellt nun die Gleichung 4. Grades eine Hürde dar.

Die Eingabe des Systems in ein CAS bringt:

[attach]52389[/attach]

Wie man sieht, gibt es - bei geeigneter Wahl der Konstanten, die in sehr engen Bereichen liegen - meist 2 reelle Lösungspaare.

Das korrespondiert auch mit der Auflösung der Gleichung 4. Grades. [nt = m]

[attach]52390[/attach]

mY+

06.01.2021, 16:56

HAL 9000

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Durch die zwei Quadrierungen im Verlauf der obigen Herleitung bei mir hat man sich vermutlich die eine oder andere Scheinlösung eingehandelt. D.h., nicht jede $\begin{eqnarray*} \cos(y) \end{eqnarray*}$ -Lösung dieser Gleichung vierten Grades wird auch eine des Originalproblems sein - das muss man auf jeden Fall berücksichtigen, d.h., eine Probe ist hier unerlässlich.

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