Limes von 2^n/n^2

05.01.2021, 20:43

Bot Tom

Limes von 2^n/n^2

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in \mathbb N } = \frac{2^n}{n^2} \end{eqnarray*}$
gegeben und soll $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n \end{eqnarray*}$ berechnen.

Gibt es einen Satz oder ein Verfahren, mit dem man zu einer sauberen Lösung kommt?

Meine Ideen:
Ich denke, dass
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{n^2} \to \infty \end{eqnarray*}$
weil $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ deutlich schneller wächst, als $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ .
Andererseits behauptet Wolfram Alpha das Gegenteil, nämlich
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{n^2} \to 0 \end{eqnarray*}$

Das finde ich ganz schön irritierend... Aber mal abgesehen von Wolfram Alpha:

Ich müsste ja zeigen, dass die Folge größer als jeder Grenzwert $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ werden kann, also
$\begin{eqnarray*} \frac{2^n}{n^2} > a \end{eqnarray*}$
Ich habe versucht, diese Ungleichung nach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ aufzulösen, jedoch vergeblich. Ich schiebe die Terme hin und her, jedoch ohne richtige Aussicht auf eine Lösung.

05.01.2021, 20:53

Iorek

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Ich bezweifle mal, dass WolframAlpha dir als Grenzwert $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ liefert, das sieht dem guten Wolfram nämlich gar nicht ähnlich.

Deine Vermutung $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \frac{2^n}{n^2}=\infty \end{eqnarray*}$ (beachte: hier kommt ein Gleichzeitszeichen, kein Pfeil hin!) ist korrekt. Um das nachzuweisen gibt es verschiedene Möglichkeiten. Eine saubere, elementare Möglichkeit: verwende vollständige Induktion um nachzuweisen, dass $\begin{eqnarray*} 2^n>n^3 \end{eqnarray*}$ ab einem gewissen $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt.

05.01.2021, 21:12

mYthos

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Wolfram rechnet schon richtig!
Es kommt darauf an, wohin x gehen soll!

.

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mY+

05.01.2021, 23:20

Bot Tom

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Zitat:

Wolfram rechnet schon richtig!
Es kommt darauf an, wohin x gehen soll!

Wow, jetzt sehe ich auch, dass da $\begin{eqnarray*} n \to - \infty \end{eqnarray*}$ geht, danke.

Edit (mY+):
Beim Zitieren bitte NICHT copy 'n' paste verwenden, dadurch wird der Text z. T. unleserlich. Verwende den "Zitat-Button'! Zitat korrigiert.

Zitat:

Original von Iorek
Ich bezweifle mal, dass WolframAlpha dir als Grenzwert $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ liefert, das sieht dem guten Wolfram nämlich gar nicht ähnlich.

Deine Vermutung $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \frac{2^n}{n^2}=\infty \end{eqnarray*}$ (beachte: hier kommt ein Gleichzeitszeichen, kein Pfeil hin!) ist korrekt. Um das nachzuweisen gibt es verschiedene Möglichkeiten. Eine saubere, elementare Möglichkeit: verwende vollständige Induktion um nachzuweisen, dass $\begin{eqnarray*} 2^n>n^3 \end{eqnarray*}$ ab einem gewissen $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt.

Kannst du erklären, inwiefern das hilft? Ich sehe den Zusammenhang zu meiner Aufgabe nicht.

05.01.2021, 23:55

Helferlein

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Wenn $\begin{eqnarray*} 2^n>n^3 \end{eqnarray*}$ was kannst Du dann über den Term $\begin{eqnarray*} \frac {2^n}{n^2} \end{eqnarray*}$ sagen?

06.01.2021, 13:21

HAL 9000

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Das Verhalten von $\begin{eqnarray*} \frac{2^n}{n^k} \end{eqnarray*}$ kann man auch ohne Induktion, dafür aber unter Nutzung des Binomischen Satzes folgendermaßen abschätzen:

Für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 2^{n+k} = \sum_{j=0}^{n+k} \binom{n+k}{j} \geq \binom{n+k}{k+1} = \frac{(n+k)\cdot(n+k-1)\cdot \ldots \cdot (n+1)\cdot n}{(k+1)!} \geq \frac{n^{k+1}}{(k+1)!} \end{eqnarray*}$ , was umgestellt

$\begin{eqnarray*} \frac{2^n}{n^k} \geq \frac{n}{2^k\cdot (k+1)!} \end{eqnarray*}$

ergibt. Bei festem $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ wächst die rechte Seite für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ unbeschränkt, was angesichts dieser Ungleichung dann auch auf die linke Seite zutrifft, womit $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \frac{2^n}{n^k} = \infty \end{eqnarray*}$ bewiesen ist.

06.01.2021, 13:43

mYthos

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Übrigens, nebenbei, mit zweimaligem Anwenden der Regel von L'Hospital ist's ein Einzeiler.

mY+

06.01.2021, 16:05

Bot Tom

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@HAL 9000
Mit dem Binomischen Lehrsatz habe ich etwas experimentiert, allerdings bin ich den Umgang damit nicht gewohnt und fand es schwer, durchzublicken.

@mYthos
L'Hospital haben wir noch nicht gehabt. Wenn ich formal ganz korrekt bleiben will, habe ich ja eine Folge, keine stetige Funktion und kann keine Ableitung bilden. Klar, das ist mathematische Bürokratie, aber ich bin der Meinung, dass wir die Aufgabe mit dem bisherigen Stoff der Vorlesung lösen können müssen.

Ich glaube, ich habe eine Lösung über Helferleins Ansatz hinbekommen. Danke!

Zitat:

Ich müsste ja zeigen, dass die Folge größer als jeder Grenzwert a werden kann, also
$\begin{eqnarray*} \frac{2^n}{n^2} > a \end{eqnarray*}$

Angenommen, ich beweise per Induktion, dass für
$\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb N, n \ge 10 \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} 2^n > n^3 \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ beliebig, aber fest.
Wähle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ so, dass
$\begin{eqnarray*} n \ge 10 \wedge n>a \end{eqnarray*}$

Dann gilt
$\begin{eqnarray*} 2^n > n^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <=> \frac{2^n}{n^2} > n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} => \frac{2^n}{n^2} > n > a \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für die ganzen hilfreichen Antworten!

06.01.2021, 16:16

HAL 9000

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Zitat:

Original von Bot Tom
und fand es schwer, durchzublicken.

Welcher Teil der Abschätzung hat denn besonders Schwierigkeiten bereitet? verwirrt

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