Irreduzibilität im Integritätsbereich mithilfe von Normfunktion

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Noob3000 Auf diesen Beitrag antworten »
Irreduzibilität im Integritätsbereich mithilfe von Normfunktion
Hallo Leute, ich habe hier einen Integritätsbereich und soll zwei Elemente daraus auf reduzibilität prüfen, nämlich
a) und
b)
Helfen soll mir die Normfunktion .


Ich habe versucht, die Zahl von a) als Produkt zweier Elemente darzustellen darzustellen:
Das führt mich zum Gleichungssystem:


An dieser stelle komme ich nicht weiter. Inwieweit mir die Nomrfunktion helfen soll, weiß ich nicht.

Kann jemand weiterhelfen? Dankeschön!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt mehr als eine binomische Formel, hier beißt dich gleich die dritte. Big Laugh
Noob3000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich sehe, dass man die 3. binomische Formel hier anwenden kann:


Ausgerechnet habe ich die Werte:



Wie kann man das weiter verwenden? smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Norm ist multiplikativ.
Noob3000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also für .
Für und
Für
und somit wäre

Aber zu einer kompletten Lösung verhilft das meinem Kopf leider nicht. verwirrt
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »



Die Norm eines Teilers von muß wegen der Multiplikativität die Primzahl 19 als Faktor enthalten. Ich bin daher auf die Suche gegangen, ob es in Elemente mit Norm 19 gibt.



Jetzt geht man durch und wird gleich bei fündig, denn 36 ist eine Quadratzahl. Die vier Elemente haben die Norm 19. Sie kommen als Teiler von in Frage.

Jetzt macht man den Ansatz



Für jeden der beiden Fälle führt Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich auf ein lineares Gleichungssystem. Vielleicht besitzt eines der beiden ja ganzzahlige Lösungen.
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »



Leopolds Ansatz kann man nicht nur durch Lösen eines LGS zu Ende bringen sondern durch die Division und die analoge Division bei - statt + im Nenner.

Muss ein Teiler die Norm 19 haben? Wäre nicht auch z.B. N(a)N(b)=-8*(4*19)=-608 zu untersuchen?
Ansatz: Suche alle ganzen Elemente der Norm 2,4,8,16,32 und dividiere durch diese.
Noob3000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Irreduzibilität im Integritätsbereich mithilfe von Normfunktion
Ich habe nicht ganz verstanden, wieso die Norm eines Teilers gerade die 19 sein muss. Ist es so, dass ein Teiler eine Primzahl sein muss, und 19 die größte Primzahl ist, die gleichzeitig Teiler der -608 ist?

Der weitere Weg, nachdem man die als (mit ) dargestellt hat, ist mir klar.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Irreduzibilität im Integritätsbereich mithilfe von Normfunktion
Zitat:
Original von Noob3000
Ich habe nicht ganz verstanden, wieso die Norm eines Teilers gerade die 19 sein muss.


Muß es nicht.

Zitat:
Original von Leopold


Die Norm eines Teilers von muß wegen der Multiplikativität die Primzahl 19 als Faktor enthalten.


trial and error

Ich hab's halt einfach mal mit der 19 versucht. Und Glück gehabt, daß ich zunächst zwei nicht assoziierte Elemente der Norm 19 gefunden habe und eines davon auch noch ein gesuchter Teiler war.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

"Ganz zufällig" habe ich noch unendlich viele weitere Faktorisierungen gefunden, eine davon ist

Und auch das andere Beispiel lässt sich ganz locker zerlegen:

"Da staunt der Laie und der Fachmann wundert sich."
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
"Ganz zufällig" habe ich noch unendlich viele weitere Faktorisierungen gefunden, eine davon ist


Das ist keine Zerlegung, denn ist eine Einheit, somit sind und assoziierte Elemente.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gänsefüsschen waren ironisch gemeint, ist die Grundeinheit in und . Die Produkte finde ich trotzdem sehr hübsch und erstaunlich, und ich weiß nicht wirklich, wie man alle echten Faktorisierungen bekommt. Müsste ich noch mal bei Lemmermeyer "Quadratische Zahlkörper" nachlesen - oder es erklärt hier jemand ...
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