Vektorfelder mit Beweisen

06.01.2021, 18:23

Student1011

Vektorfelder mit Beweisen

Liebes Forum,

es geht um folgenden um diese Aufgabe:

Gegeben ist das Vektorfeld:
$\begin{eqnarray*} \vec{F}(x,y)=\left(\begin{array}{c} y+xy+x^3 \\ 0.5*(1+x)^2+y^2 \end{array}\right) \qquad \end{eqnarray*}$

a.) Zeigen Sie dass das Vektorfeld konservativ ist (Wirbelfrei)

b.) Bestimmen Sie zum $\begin{eqnarray*} \vec{F}(x,y) \end{eqnarray*}$ eine Potentialfunktion

c.) Wie lautet das Kurvenintegral von $\begin{eqnarray*} \vec{F}(x,y) \end{eqnarray*}$ über einen Kries mit Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ und dem Radius $\begin{eqnarray*} R=1 \end{eqnarray*}$

1.) Was ist der beste und schnellste Weg um a zu Beweisen ?

2.) Wie kann diese Potenzialfunktion bestimmen ?

3.) Das Kurvenintegral soll Null sein, aber warum ? Gilt das im allgemeinen, dass wenn ein Vektorfeld konservativ ist das dann, dass Kurvenintegral gleich Null ist ?

Kann mir jemand auch ein Programm empfehlen, vielleicht sogar hier Posten wie man sich das ganze graphisch vorstellen kann ?

06.01.2021, 19:32

Leopold

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(Diese Aufgabe ist in Physikersprache gehalten. Als Mathematiker ohne Physikkenntnisse sehe man mir kleinere Unrichtigkeiten nach.)

Wenn du in b) die Existenz einer Potentialfunktion gezeigt hast, ist a) automatisch erfüllt. Du kannst aber auch a) zeigen, ohne vorher b) gemacht zu haben. Dazu mußt du nur $\begin{align*} u_y = v_x \end{align*}$ nachweisen ( $\begin{align*} u,v \end{align*}$ seien die Komponenten des Vektorfeldes, die Indizes mögen partielle Ableitungen bezeichnen) und überprüfen, daß das Vektorfeld keine Singularitäten besitzt. Letzteres ist hier offensichtlich der Fall.

In b) mußt du eine skalare Funktion $\begin{align*} G=G(x,y) \end{align*}$ finden, so daß $\begin{align*} G_x = u \end{align*}$ und $\begin{align*} G_y = v \end{align*}$ die Komponenten deines Vektorfeldes sind.
Dazu $\begin{align*} u \end{align*}$ als Funktion von $\begin{align*} x \end{align*}$ ansehen und $\begin{align*} y \end{align*}$ als Konstante betrachten und wie gewohnt eine Stammfunktion bilden. Bei dieser Stammfunktion bringst du eine von $\begin{align*} x \end{align*}$ unabhängige Integrationskonstante als Summanden an (die also bezüglich $\begin{align*} x \end{align*}$ konstant ist). Diese Konstante darf natürlich von $\begin{align*} y \end{align*}$ abhängen (dann fällt sie beim Differenzieren nach $\begin{align*} x \end{align*}$ ja weg). Du könntest diese Konstante $\begin{align*} c(y) \end{align*}$ nennen. Jetzt hast du einen Ansatz für dein $\begin{align*} G \end{align*}$ . (Mache sicherheitshalber noch einmal die Probe, ob tatsächlich $\begin{align*} G_x = u \end{align*}$ gilt.)
Jetzt differenzierst du $\begin{align*} G \end{align*}$ nach $\begin{align*} y \end{align*}$ und vergleichst das Ergebnis mit $\begin{align*} v \end{align*}$ . Bestimme jetzt nachträglich $\begin{align*} c(y) \end{align*}$ so, daß sich $\begin{align*} G_y = v \end{align*}$ ergibt.

Wenn ein Vektorfeld eine Potentialfunktion besitzt, ist das Integral über eine geschlossene Kurve stets 0.

06.01.2021, 19:57

Leopold

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Zitat:

Original von Student1011

Zitat:

Wenn ein Vektorfeld eine Potentialfunktion besitzt, ist das Integral über eine geschlossene Kurve stets 0.

Danke für die Antwort, aber wie kann dies mathematisch präzise beweisen ? Weil im prinzip ist es ja nur eine Aussage ohne einen Beweis.

Die Lösung für b.) ist wenn man alles richtig macht:

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=xy+0.5x^2y+0,25x^4+0.5y+1/3y^3+C \end{eqnarray*}$

Der Zusammenhang zwischen Vektorfeldern mit Potentialfunktionen und der Wegunabhängigkeit des Integrals wird üblicherweise in der Vorlesung gezeigt. Wenn du das noch nicht verwenden darfst, steht es dir frei, das Kurvenintegral mittels einer Parametrisierung auszurechnen.

06.01.2021, 20:56

Ulrich Ruhnau

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RE: Vektorfelder mit Beweisen

Zitat:

Original von Student1011
Gegeben ist das Vektorfeld:
$\begin{eqnarray*} \vec{F}(x,y)=\left(\begin{array}{c} y+xy+x^3 \\ 0.5*(1+x)^2+y^2 \end{array}\right) \qquad \end{eqnarray*}$

a.) Zeigen Sie dass das Vektorfeld konservativ ist (Wirbelfrei)

b.) Bestimmen Sie zum $\begin{eqnarray*} \vec{F}(x,y) \end{eqnarray*}$ eine Potentialfunktion

c.) Wie lautet das Kurvenintegral von $\begin{eqnarray*} \vec{F}(x,y) \end{eqnarray*}$ über einen Kreis mit Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ und dem Radius $\begin{eqnarray*} R=1 \end{eqnarray*}$

Zu a: $\begin{eqnarray*} \text{rot}_z \vec F=\frac {\partial F_y}{\partial x}-\frac {\partial F_x}{\partial y}=0 \end{eqnarray*}$

Zu b: Für die Potentialfunktion $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ muß gelten $\begin{eqnarray*} \nabla \Phi(x,y)=\begin{pmatrix} \frac{\partial \Phi}{\partial x} \\ \frac{\partial \Phi}{\partial y} \end{pmatrix} =\vec F(x,y) \end{eqnarray*}$

Zu c: Ich empfehle den Übergang zu Polarkoordinaten.

Zitat:

Kann mir jemand auch ein Programm empfehlen, vielleicht sogar hier Posten wie man sich das ganze graphisch vorstellen kann ?

Ich benutze gerne Matlab und für die Darstellung von 2D-Vektorfeldern die Funktion quiver.

06.01.2021, 21:35

Leopold

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Warum wiederholst du noch einmal, was ich bereits gesagt habe? verwirrt

06.01.2021, 21:44

Student1011

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Zitat:

Warum wiederholst du noch einmal, was ich bereits gesagt habe?

Fand ich eigentlich ganz gut, den Formalismus dahinter zusehen. Schließlich geht es ja darum ein Mathematiker zu werden, der viele Interpreation liefern kann und rechnet ohne Fehler zu begehen. Jetzt nun begreife ich dieses Punkte tiefgründig. Daher an euch beide ein Dankeschön.

06.01.2021, 22:18

Ulrich Ruhnau

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@Leopold

Was ich schrieb, habe ich unabhängig von Dir geschrieben. Dir ging es darum zu sagen was Student tun soll. Mir ging es darum kurz dazustellen, warum.

06.01.2021, 22:35

Leopold

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Du hast meine $\begin{align*} u,v \end{align*}$ nur $\begin{align*} F_x,F_y \end{align*}$ genannt. Meine Gleichung $\begin{align*} u_x = v_y \end{align*}$ hast du in der Form $\begin{align*} \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} = 0 \end{align*}$ geschrieben (und dabei noch zweimal das runde $\begin{align*} \partial \end{align*}$ vergessen). Während bei dir die Indizes die Komponentenfunktionen kennzeichen, kennzeichnen sie bei mir die partiellen Ableitungen. Man kann das so machen wie ich oder so machen wie du. Aber daß es in aufeinander folgenden Beiträgen der eine so und der andere so macht, ist verwirrend. Meine Potentialfunktion $\begin{align*} G \end{align*}$ heißt bei dir $\begin{align*} \Phi \end{align*}$ (wieder fehlen runde $\begin{align*} \partial \end{align*}$ ). Erklärt hast du gar nichts. Ebensowenig wie ich. Du hast nur das Vorgehen beschrieben. Ebenso wie ich. Das Einzige, was neu ist, war, daß du Physikernotationen wie Rotation und Nabla verwendet hast. Vielleicht hat das Student1011 geholfen, Anschluß an sein Skript zu finden. Alles andere war nur Doppelung.

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