Beweis - lineare Transformation T(v) = (0,1)

06.01.2021, 19:25

MathePeter123

Beweis - lineare Transformation T(v) = (0,1)

Guten Abend, smile

Es ist $\begin{eqnarray*} v = (v_1,v_2) \end{eqnarray*}$ , die Transformation lautet $\begin{eqnarray*} T(v) = (0,1) \end{eqnarray*}$ Handelt es sich hier um eine lineare Transformation?

Idee:
U.a. muss $\begin{eqnarray*} \lambda T(v) = T(\lambda v) \end{eqnarray*}$ gelten.

Rechnung:
$\begin{eqnarray*} 2T(v) = T(v) + T(v) = (0,1) + (0,1) = (0,2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T(2v) = T(2(v_1,v_2)) = T(2v_1, 2v_2) = (0,2) \end{eqnarray*}$

Weil beide Ergebnisse gleich sind, würde ich behaupten, dass es sich um eine lineare Transformation handelt. Ich bin mir nicht sicher, ob der Teil mit $\begin{eqnarray*} T(2v) \end{eqnarray*}$ so richtig ist, deshalb bitte ich hier um eine Korrektur smile

06.01.2021, 19:35

Leopold

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RE: Beweis - lineare Transformation T(v) = (0,1)

Zitat:

Original von MathePeter123
Rechnung:
$\begin{eqnarray*} 2T(v) = T(v) + T(v) = (0,1) + (0,1) = (0,2) \ \ \color{green} \text{umständlich, aber richtig} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T(2v) = T(2(v_1,v_2)) = T(2v_1, 2v_2) = (0,2) \ \ \color{red} \text{falsch!} \end{eqnarray*}$

06.01.2021, 19:53

MathePeter123

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RE: Beweis - lineare Transformation T(v) = (0,1)
Danke für deine Antwort smile

Wie müsste denn der Teil für $\begin{eqnarray*} T(2v) \end{eqnarray*}$ richtig lauten?

06.01.2021, 19:59

Leopold

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Wie ist denn $\begin{align*} T(v) \end{align*}$ definiert?

Ein Beispiel aus der eindimensionalen Analysis: Die Funktion $\begin{align*} f \end{align*}$ sei durch $\begin{align*} f(x) = 2021 \end{align*}$ definiert. Berechne $\begin{align*} f(2), \, f(5), \, f(-3), \, f(\pi) \end{align*}$ .

06.01.2021, 20:56

MathePeter123

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Ich wollte es gerade noch ergänzen. Es ist ja konstant daher würde jeder Wahl eines Vektors zu (0,1) "gemappt" werden. Wenn ich das richtig verstanden habe...

06.01.2021, 21:34

Leopold

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So ist es.

06.01.2021, 22:16

MathePeter123

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Eine weitere Frage, angenommen ich habe nun diese Transformation $\begin{eqnarray*} T(v) = (v_1,v_1) \end{eqnarray*}$ . Könnte ich dann folgendermaßen argumentieren, dass es sich dabei um eine lineare Transformation handelt:

$\begin{eqnarray*} \lambda T(v) = T(\lambda v) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2T(v) = T(v) + T(v) = (v_1, v_1) + (v_1, v_1) = (2v_1, 2v_1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T(2v) = T(2(v_1, v_2)) = 2(v_1, v_1) = (2v_1, 2v_1) \end{eqnarray*}$

Das Einsetzen von T(2v) fällt mir immer recht schwer, weil ich nicht weiß wie ich damit am besten umgehen kann... Weil aber auch hier wieder beides gleich ist, würde ich behaupten es handelt sich um eine lineare Transformation (Ich habe hier bewusst einmal die zweite Eigenschaft ( $\begin{eqnarray*} T(v+w) = T(v) + T(w) \end{eqnarray*}$ ) vernachlässigt)

06.01.2021, 22:43

Leopold

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Warum wird bei dir aus $\begin{align*} \lambda \end{align*}$ auf einmal 2? Wenn du dieses Axiom nachweisen willst, mußt du mit beliebigem $\begin{align*} \lambda \end{align*}$ arbeiten. 2 ist nur ein Beispiel. (Wenn du das Axiom allerdings widerlegen willst, genügt ein Beispiel. Da kannst du es mit 2 versuchen.)

Und warum du aus $\begin{align*} 2a = a+a \end{align*}$ machst, erschließt sich mir nicht. Das macht nichts einfacher. Aber es ist ja hier sowieso falsch, weil du mit beliebigem $\begin{align*} \lambda \end{align*}$ arbeiten mußt.

In der dritten Zeile ist das zweite Gleichheitszeichen nicht überzeugend. Warum sollte das gelten?

06.01.2021, 23:07

MathePeter123

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Danke für deine Bemühungen smile

Ich würde es einmal allgemein Versuchen. Eigentlich müsste es ja nur die Definition sein und etwas einsetzen?!

$\begin{eqnarray*} T(v) = (v_1,v_1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v = (v_1,v_2), \lambda v = (\lambda v_1, \lambda v_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T(\lambda v) = T(\lambda v_1, \lambda v_2) = (\lambda v_1, \lambda v_1) = \lambda (v_1, v_1) = \lambda T(v) \end{eqnarray*}$

Wäre das in Ordnung?

06.01.2021, 23:23

Leopold

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So geht das. Übrigens: Ein paar deutsche Worte zwischen den mathematischen Zeichen schaden nicht.

07.01.2021, 08:01

MathePeter123

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Danke dir Leopold, Freude

Vielleicht nochmal zur letzten linearen Trafo., wie kann ich mir diese Aktion zeichnerisch vorstellen? Wenn ich einen 2D Vektor $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ als Eingabe hätte, würde doch die lineare Trafo, nur die x-Komponente nehmen und das zwei mal also $\begin{eqnarray*} (x,x) \end{eqnarray*}$ . Das käme dann doch der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = x \end{eqnarray*}$ gleich oder?

07.01.2021, 11:41

Leopold

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Am besten gewöhnt man sich recht frühzeitig daran, daß man sich nicht alles, was es in der Mathematik gibt, bildlich vorstellen muß. Auf der anderen Seite geht es wohl kaum, mathematische Strukturen tiefer zu erfassen, wenn man nicht im Kopf ein wie auch immer geartetes Bild hat. Aber was ist ein "Bild"?
Abbildungen $\begin{align*} \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \end{align*}$ entziehen sich einer Darstellung als Funktionsgraph, wie du das aus der Schule kennst. Dazu bedürfte es vierer Dimensionen, und die haben wir in unserer Anschauung nicht zur Verfügung. Wenn ich sage: wir, meine ich nach meiner Erfahrung die meisten Menschen. Aber man soll ja nie von sich auf andere schließen. Nur weil ich etwas nicht kann, heißt das ja nicht, daß auch andere das nicht können. Vielleicht gibt es anders gestrickte oder auch intelligentere Menschen als mich, die sich vier Dimensionen "vorstellen" können, was auch immer das bedeuten mag.

Abbildungen $\begin{align*} \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \end{align*}$ kann man sich als Bewegungen denken. Nimm ein gewöhnliches kartesisches $\begin{align*} xy \end{align*}$ -Koordinatensystem und zeichne darin die Gerade $\begin{align*} w: \ y=x \end{align*}$ , die den I. und III. Quadranten halbiert, ein. Wir untersuchen deine Abbildung $\begin{align*} T \left( v_1,v_2 \right) = \left( v_1,v_1 \right) \end{align*}$ . Oder schreiben wir das so: $\begin{align*} T(x,y) = (x,x) \end{align*}$ . An Buchstaben soll man nicht kleben, und jetzt sieht das schon ein bißchen aus wie etwas, das wir schon kennen.
Nun nehmen wir einen Punkt $\begin{align*} p = (-1,5) \end{align*}$ . Für ihn gilt: $\begin{align*} p' = T(p) = (-1,-1) \end{align*}$ . Seine $\begin{align*} x \end{align*}$ -Koordinate ist gleich geblieben, seine $\begin{align*} y \end{align*}$ -Koordinate wurde der $\begin{align*} x \end{align*}$ -Koordinate angepaßt. Zeichne $\begin{align*} p \end{align*}$ und $\begin{align*} p' \end{align*}$ ein. $\begin{align*} p' \end{align*}$ liegt auf der Geraden $\begin{align*} w \end{align*}$ . Man kann sich vorstellen, daß der Punkt $\begin{align*} p \end{align*}$ senkrecht nach unten rutscht, bis er die Position von $\begin{align*} p' \end{align*}$ einnimmt. Dann nimm einen anderen Punkt $\begin{align*} q = (4,1) \end{align*}$ . Für ihn ist $\begin{align*} q' = T(q) = (4,4) \end{align*}$ . Hier klettert $\begin{align*} q \end{align*}$ nach oben, bis er bei $\begin{align*} q' \end{align*}$ auf der Geraden $\begin{align*} w \end{align*}$ ist. Diese Beschreibung ist natürlich nur eine Hilfskrücke, denn wir wissen nicht, ob die Punkte rutschen oder klettern, wir kennen den Weg, den sie nehmen, überhaupt nicht. Wir wissen nur: vorher waren sie da, jetzt sind sie dort, vielleicht wurden sie ja gebeamt. Die Abbildung $\begin{align*} T \end{align*}$ nennt man die Projektion eines Punktes auf die Gerade $\begin{align*} w \end{align*}$ in $\begin{align*} y \end{align*}$ -Richtung.
Du kannst ja einmal versuchen, das von dir bewiesene Gesetz $\begin{align*} T(\lambda v ) = \lambda T(v) \end{align*}$ entsprechend durch Bewegungen zu veranschaulichen.

07.01.2021, 16:41

MathePeter123

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Danke für das schöne Beispiel! Das kräftigt nochmal das Verständnis für die Thematik. Im Wiki Artikel zu linearen Abbildungen sind ein paar nette Bilder, die das nochmal gut zeigen smile

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