Pyramide in R3 [War: Ungerade Pyramide]

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Ari Ana Auf diesen Beitrag antworten »
Pyramide in R3 [War: Ungerade Pyramide]
Meine Frage:
Die Punkte A=(0,0,0) B=(4,0,0) C=(4,4,2) UND D=(0,4,2) sind die Eckpunkte einer rechteckigen Pyramide mit der Spitze S=(2,-1,7).
M sein der Mittelpunkt der Grundfläche und ist durch Gerade g mit S verbunden.
Die Aufgabe:
Bestimmen Sie den Punkt R, welche auf der Gerade g liegt und den gleichen Abstand von A, B, C, D, und S hat.
Hinweis: Die Pyramide ist ungerade.

Meine Ideen:
Ich habe M ausgerechnet und kann durch Vektor (2;2;1) beschrieben werden.
Den Punkt R bereitet mir Probleme, da die Pyramide ungerade ist.
Irgend welche Ideen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Punkt , der von zwei Punkten denselben Abstand hat, muß auf der Symmetrieebene der Punkte liegen (das ist die Entsprechung der Mittelsenkrechten aus der zweidimensionalen Geometrie im Dreidimensionalen).

Wenn

die Symmetrieebene von und ist (und damit auch von und ) und

die Symmetriebene von und ist (und damit auch von und ) und

die Symmetriebene von und ist,

dann ist der Schnitt der Ebenen der gesuchte Punkt . Die Gerade wird zur Ermittlung von gar nicht benötigt. Für die Ebenen lassen sich leicht Normalformen aufstellen, der Schnitt ergibt sich als Lösung des linearen Gleichungssystems, das durch die drei Normalformen bestimmt ist.

Zeichne dir eine Skizze dazu.

Das Ganze ist natürlich merkwürdig. Man fragt sich: wozu die Gerade durch und ?
Die Ebenen und schneiden sich in einer Geraden durch , die senkrecht auf der Ebene des Rechtecks steht (Skizze). Auf dieser Geraden muß liegen. Nach Aufgabenstellung liegt aber auf . Andererseits haben und auf jeden Fall gemeinsam. Das Ganze kann nur funktionieren, wenn in Wahrheit und dieselbe Gerade sind.

Man könnte daher auch so anfangen: Man weist nach, daß die Gerade senkrecht auf der Ebene des Rechtecks steht. Dann ist das schon einmal geklärt. Und jeder Punkt der Geraden ist gleich weit von den Punkten entfernt. Ganz von alleine. Jetzt schneidet man die Gerade mit der Symmetrieebene von und , oben genannt. Der Schnittpunkt ist der gesuchte Punkt . (Oder man nimmt einen allgemeinen Geradenpunkt von , berechnet seinen Abstand von und und setzt diese Abstände oder ihre Quadrate gleich. Das läuft aber auf dasselbe wie der Schnitt von mit hinaus.)

Die Pyramide ist nicht gerade, weil nicht alle vier Seitenflächen kongruente gleichschenklige Dreiecke sind. Das heißt aber nicht, daß die Pyramide keinerlei Symmetrien besitzt. In der Tat liegt senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
...
Die Pyramide ist nicht gerade, weil nicht alle vier Seitenflächen kongruente gleichschenklige Dreiecke sind. Das heißt aber nicht, daß die Pyramide keinerlei Symmetrien besitzt. In der Tat liegt senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche.


Der Titel gibt nicht den wahren Sachverhalt wieder.
Die Pyramide ist dennoch gerade (die Höhe SM steht senkrecht auf der Basisebene und geht durch den Mittelpunkt M des Rechteckes, wie richtig geschrieben).
Die Kongruenz der Seitendreiecke ist dabei nicht Bedingung.

Die Pyramide ist jedoch NICHT regelmäßig.

mY+
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast recht. Gerade Pyramiden sind solche mit gleich langen Seitenkanten. Ich habe mich hinreißen lassen von

Zitat:
Original von Ari Ana
Hinweis: Die Pyramide ist ungerade.


(wobei ja "ungerade" auch merkwürdig ist, man würde ja eher von einer "schiefen" Pyramide sprechen - sei's drum!)

Halten wir also fest: Diese Pyramide ist gerade (was natürlich in der Aufgabe nachzuweisen wäre, siehe meinen zweiten Ansatz).
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, der Ausdruck "ungerade" ist unüblich, es würde tatsächlich "schiefe" Pyramide heißen.
---------
Der Hinweis meint wahrscheinlich, dass die Gerade SM (also die Höhe) nicht senkrecht zur x-y Ebene verläuft.

Auf Grund der Angaben ist die Gerade g (MS) identisch mit der Höhe der Pyramide. Dies ist - wie im 2. Ansatz von Leopold (der bringt's!) beschrieben - zuerst noch nachzuweisen.
Tipp:
Berechne den Normalvektor der Basisebene mittels des Kreuzproduktes der Vektoren AB und AC und vergleiche diesen mit dem Vektor MS.

Und dann: Der gesuchte Punkt R liegt also auf der Verbindung MS. Ein allgemeiner Punkt auf MS ist durch die Parametergleichung dieser Geraden beschrieben.
Nun kannst du die Beträge der Vektoren SR und AR - gemäß Forderung in der Angabe und wie von Leopold im 2. Ansatz ausgeführt - gleichsetzen und damit den Parameter berechnen, der dich zu dem Punkt R führt.

[ R(2 | 0.8 | 3.4) ]

mY+
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