Mehrere Berechnungen

07.01.2021, 09:53

Student1011

Mehrere Berechnungen

Guten Morgen liebes Forum,

beim bearbeiten einiger Aufgaben hatte ich Probleme gehabt diese nach zuvollziehen. Es sind lediglich einpaar Verständnisprobleme welche ich habe, und für jedes ein eigenes Thema zu eröffnen macht wenig Sinn denke ich.

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Zur Aufgabe 2:

Ich habe diese Aufgabe mit der Regel von Lopital gelöst, in dem ich die untere Funktion sowie die obere Funktion 4-mal hintereinander abgeleitet habe. Im Aufgaben Text war jedoch nach der Lösung mit Hilfe der Potenzreihe cos(2x) gefragt. Wie würde das dann ausehen ? Im Prinzip habe ich ja dann am Ende im Zähler eine unendliche Summe mit zwei weiteren Termen. Wie kann diese vereinfachen ?

Zur Aufgabe 3:

Hier bin ich mir unsicher bei der Determinanten berrechung, welche am Ende auskunft darüber gibt ob es sich schließlich um ein Max. oder ein Min handelt. Muss ich dann beispielweise, wenn ich die Nullstellen berrechnet habe erst die Gleichunng $\begin{eqnarray*} fxx*fyy-(fxy)^2 \end{eqnarray*}$ aufstellen und meine Nullpunkte einsetzten und schauen ob erstmal die Determinante größer ist als 0 oder gar kleiner ? Wäre es nicht aussreichend, wenn ich nach einem Parameter zweimal ableite, und dann die Nullstelle einsetzte um zuschauen ob es ein Min oder Max ist ? Oder muss man erst die Determiante berrechen, dann und eine zweifache partielle Ableitung der Funktion f(x) meine Nullstelle einsetzen und wirklich sagen zu können worum es sich handelt ?

Zur Aufgabe 4:

Diese Aufgabe kann man ja mit dem Ansatz der Superposition der homogenen Lösung sowie der parikulären Lösung bearbeiten. Was ich aber nicht verstehe ist das, dass charakterisitsche Polynom eine Doppelte Nullstelle bei $\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$ hat und eine einfache bei 2. In der Lösung jedoch $\begin{eqnarray*} y(x)=C_1+C_2x+C_3e^2x+(1-x)e^x \end{eqnarray*}$ raus. Der partikular Anteil hat ja keine Konstante, das ist klar. Daher kann ich nicht verstehen wieso bei $\begin{eqnarray*} C_2 \end{eqnarray*}$ noch ein x dazu Mulitpliziert wird. Ich meine wir haben ja zwei Nullstellen, daher müsste es doch ein $\begin{eqnarray*} C_2 \end{eqnarray*}$ ohne x ein oder nicht ?

Zur Aufgabe 6:

Im Anhang befindet sich meine Lösung. Die sollte soweit korrekt sein. Jedoch frage ich mich, was man aus mathematischer Sicht hätte besser machen können, spricht wie man diese Aufgabe schneller lösen könnte, da es ein ziemliches Kampfrechnen war. Ich komme auf keine Idee ich hoffe, dass ihr welche dazu habt. Gerne dürft ihr mir auch sagen, wenn etwas mit der Notaion nicht stimmt.

Dankeschön und euch noch einen guten Start in den Tag

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07.01.2021, 10:32

Ulrich Ruhnau

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RE: Mehrere Berechnungen

Zitat:

Original von Student1011
Zur Aufgabe 2:

... Im Prinzip habe ich ja dann am Ende im Zähler eine unendliche Summe mit zwei weiteren Termen. Wie kann diese vereinfachen ?

Du schreibst die unendliche Summe nur bis zum $\begin{eqnarray*} x^4 \end{eqnarray*}$ -Term auf. Der Rest fällt durch den Limes weg. Aufpassen: Du musst für jedes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ den Term $\begin{eqnarray*} 2x \end{eqnarray*}$ einsetzen.

Ich empfehle Dir dringend, Aufgaben einzeln zu posten.

07.01.2021, 13:58

Ulrich Ruhnau

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RE: Mehrere Berechnungen

Zitat:

Original von Student1011
Zur Aufgabe 3:

Hier bin ich mir unsicher bei der Determinanten berrechung, welche am Ende auskunft darüber gibt ob es sich schließlich um ein Max. oder ein Min handelt. Muss ich dann beispielweise, wenn ich die Nullstellen berrechnet habe erst die Gleichunng $\begin{eqnarray*} fxx*fyy-(fxy)^2 \end{eqnarray*}$ aufstellen und meine Nullpunkte einsetzten und schauen ob erstmal die Determinante größer ist als 0 oder gar kleiner ? Wäre es nicht aussreichend, wenn ich nach einem Parameter zweimal ableite, und dann die Nullstelle einsetzte um zuschauen ob es ein Min oder Max ist ? Oder muss man erst die Determiante berrechen, dann und eine zweifache partielle Ableitung der Funktion f(x) meine Nullstelle einsetzen und wirklich sagen zu können worum es sich handelt ?

[attach]52402[/attach]Warum probierst Du es nicht einfach aus und schaust, was herauskommt? Die Grafik habe ich mit Matlab erstellt.

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6:	>> [x,y]=meshgrid(-2:.1:2,-2:.1:2); >> z=x.*exp(-x.^2-y.^2); >> surfc(x,y,z) >> xlabel('X') >> ylabel('Y') >>

07.01.2021, 14:07

HAL 9000

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Zu Aufgabe 6 auch schon mal ein Bild der Kurve (Kardioide), um die es geht:

07.01.2021, 17:10

Student1011

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Zitat:

Du schreibst die unendliche Summe nur bis zum x4-Term auf. Der Rest fällt durch den Limes weg. Aufpassen: Du musst für jedes x den Term 2x einsetzen.

Ich empfehle Dir dringend, Aufgaben einzeln zu posten.

Okay, was ist jedoch der Grund wieso ich den Limes bis zum Polynom 4.Grades laufen lasse ? Liegt es daran, dass im Nenner selbst ein Polynom der 4 Grades ist ?

PS: Mit denne Aufgaben hast du recht. Aber es sind ja im einzelnen nur ein paar kleine Fragen gewesen. Wäre komisch jetzt dafür 5 Themen auf zu machen Big Laugh

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Zitat:

Warum probierst Du es nicht einfach aus und schaust, was herauskommt? Die Grafik habe ich mit Matlab erstellt.

Hmm, leider habe ich keine graphische Darstellungs möglichkeit in der Prüfung. Es geht mir darum, ob es aussreichen wäre wenn ich den die Nullstelle in eine doppelte partielle Ableitung einsetzte um zu schauen ob es jetzt ein Min oder Max ist. Ohne die Determinate komplett zu berechnen weil das kostet Zeit. Damit wir auch alle vom Gleichen reden füge ich im Anhang auch gleich mal den Ansatzt hinzu.

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Zitat:

Zu Aufgabe 6 auch schon mal ein Bild der Kurve (Kardioide), um die es geht:

Ohh das tut mir jetzt sehr weh. Weil ich eigentlich die Formmel für dafür in meiner Formelsammlung habe. Das habe ich ja mal kompellt übersehen. Wenn mir das in der Klausur passiert wäre R.I.P.

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Was ich aber nicht ganz verstehe ist, damit die Bogenlänge L=8 raus kommt, muss doch a = 1 sein weil in der Lösung kommt auch L=8 raus.

Was mir jedoch nicht ganz einleuchtet ist, dass ja im Falle der Fläche und der Bogenlänge a dann ebenfalls a=1 sein muss, aber wenn ich so die Fläche berrechene bekomm ich für $\begin{eqnarray*} F=3/2\pi \end{eqnarray*}$ und in der Lösung musst aber für die Fläche $\begin{eqnarray*} F=3\pi \end{eqnarray*}$ raus kommen. Woran könnte das wohl liegen ? verwirrt

07.01.2021, 17:23

HAL 9000

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Naja, die Kardioide in deiner Formelsammlung hat ja auch nicht ganz die Formeldarstellung wie oben. Aber mit den Additionstheoremen $\begin{eqnarray*} \cos(2t)=2\cos^2(t)-1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \sin(2t)=2\sin(t)\cos(t) \end{eqnarray*}$ folgt aus obiger Darstellung

$\begin{eqnarray*} x(t) = 2\cos(t)\left(1-\cos(t)\right)+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y(t) = 2\sin(t)\left(1-\cos(t)\right) \end{eqnarray*}$

D.h., verglichen mit deiner Formelsammlung haben wir hier $\begin{eqnarray*} a=2 \end{eqnarray*}$ und aber zusätzlich noch eine Gesamtverschiebung um +1 in der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Komponente - was natürlich nur die Lage im Koordinatensystem ändert, nicht aber die Form der Kurve, deren Länge sowie den gesuchten Flächeninhalt. Zu bedenken ist natürlich, dass du hier nur eine "halbe" Kardiode hast, sowohl von der Länge als auch vom Flächeninhalt.

07.01.2021, 17:28

Student1011

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Zitat:

D.h., verglichen mit deiner Formelsammlung haben wir hier a=1 und aber zusätzlich noch eine Gesamtverschiebung um +1 in der x-Komponente - was natürlich nur die Lage im Koordinatensystem ändert, nicht aber die Form der Kurve, deren Länge sowie den gesuchten Flächeninhalt. Zu bedenken ist natürlich, dass du hier nur eine "halbe" Kardiode hast, sowohl von der Länge als auch vom Flächeninhalt.

Okay, wie es aussieht muss ich dann wohl in den saueren Apfel beißen, und diese ganze Rechung wie im Anhang durchführen. Ich denke, dass ist der sicherste Weg. Hast du jedoch auch in meiner Rechnung Punkte gesehen, die man aus mathematischer sicht krüzer und schneller durch führen könnte ? Die Rechung befindet sich im Anhang.

By the, hast jemand auch eine Idee zum Punkt 4 ? Warum $\begin{eqnarray*} C_2 \end{eqnarray*}$ ein x im Term hat ?

07.01.2021, 18:29

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

Original von Student1011
Okay, was ist jedoch der Grund wieso ich den Limes bis zum Polynom 4.Grades laufen lasse ? Liegt es daran, dass im Nenner selbst ein Polynom der 4 Grades ist ?

Ja! - Nun sei mal nicht faul, sondern tue auch was! Z.B. könntest Du Den Formeleditor in Kombination mit der f(x)-Taste nutzen und so mal vorrechnen, was bei Dir für den Limes rauskommt. Wir dürfen und wollen Dich nicht mit kompletten Lösungen beschenken. Wir wollen hier sehen, daß auch von Dir was kommt. Nur unter dieser Voraussetzung gibt es unsere Hilfe.

07.01.2021, 18:44

Student1011

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Zitat:

Ja klar, hast du auch recht. Ich bin schon immer am selber aussrechen, mach ja seit Tagen nichts anders. Ich nutze auch viele Fachbücher wie das von Lothar Papula 1 - 3. Jedoch bin ich mir ganz unsicher, und will lieber auf Nummer sicher gehen, dass ich auch alles richtig verstanden habe. Auf diese Fragen habe ich halt keine eindeutige Antwort gefunden, ich möchte mir halt ein tiefes und solides mathematisches Verständnis aneignen. Jedoch danke für das Feedback.

07.01.2021, 20:25

Leopold

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Wahrscheinlich muß man so etwas wie Aufgabe 2 einmal gesehen haben, um die Scheu davor zu verlieren. Statt mit sokratischer Maieutik daranzugehen, erscheint es mir gegen das Boardprinzip sinnvoller, das hier einmal vorzurechnen.

$\begin{align*} \cos(t) = 1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} - \frac{t^6}{6!} + - \ldots \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2x \end{align*}$ substituieren:

$\begin{align*} \cos(2x) = 1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} - \frac{(2x)^6}{6!} + - \ldots \end{align*}$

$\begin{align*} \cos(2x) - 1 + 2x^2 = \left( 1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} - \frac{(2x)^6}{6!} + - \ldots \right) - 1 + 2x^2 \end{align*}$

$\begin{align*} \cos(2x) - 1 + 2x^2 = \frac{(2x)^4}{4!} - \frac{(2x)^6}{6!} + - \ldots \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{\cos(2x) - 1 + 2x^2}{x^4} = \frac{2^4}{4!} - \frac{2^6 x^2}{6!} + - \ldots \end{align*}$

Der Limes für $\begin{align*} x \to 0 \end{align*}$ wird nun berechnet, indem man rechts 0 einsetzt (das darf man, denn die rechte Seite stimmt mit der linken bis auf die Stelle $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ überein, ergänzt die linke Seite aber stetig in $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ hinein):

$\begin{align*} \lim_{x \to 0} \frac{\cos(2x) - 1 + 2x^2}{x^4} = \frac{2^4}{4!} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3} \end{align*}$

Damit du das jetzt nicht nur abschreibst, sondern etwas daraus lernst, könntest du die folgende Aufgabe lösen:

$\begin{align*} \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x) - 2x + x^3 }{x^3} \end{align*}$

08.01.2021, 21:18

Student1011

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Kleine Zusammenfassung zu denne jeweiligen Aufgaben & sowie Ansätzen:

Anbei vielen Dank, für euere hilfe, es hat mir sehr geholfen.

Zur Aufgabe 2:

Erstmal dann interessant zu sehen wie es geht. Habe die Aufgabe von Leopold ebenfalls berabreitet. Ich frage mich jedoch, ob der Prof. mir in der Klausur wenn ich den Ansatz von Lopital genommen hätte eventuell keine Punkte gegeben hätte.

Zur Aufgabe 3:

1. Determinante berrechen
2. Extrempunkt in die partielle ableitung einsetzen um entscheiden ob es Min. oder Max.

Es geht leider nicht anders, wenn man die Auskunft darüber geben möchte. Da wenn $\begin{eqnarray*} D < 0 \end{eqnarray*}$ ist sich um eine Sattelpunkt handelt.

Zur Aufgabe 6:

a.) Wow, wäre hatte das gedacht. Es ist wirklich faszinierend. Wenn man erkennt, dass es sich um eine Phasen verschobene Kardioide handelt kann man die Länge in 1 min berrechen. Wenn man das nicht erkennt,dann muss man sowie ich Rechnung durch führen welche mehr als 15 minuten gehen kann.

Aber von dem Rechenweg denn ich gegangen bin hätte man nichts mehr einfacher machen können.

Zur Aufgabe 4:

Ich habe auch seit Tagen nach dem Beweis gesucht, weshalb bei merfachen reelle Lösungen ein x vor einer Konstanten geschrieben wird. Im Anhang ist ein Auszug aus dem Buchpapula. Die Liefern da auch keine Beweise. Ich habe vermutungen aber ob die korrekt sind weiß ich auch nicht genau.

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