Untergruppenbeweis

07.01.2021, 14:42

Kallemann1909(2)

Untergruppenbeweis

Meine Frage:
Hallo zusammen, ich bereite mich aktuell sehr früh auf meine LinA-Klausur vor und in der Gruppentheorie bereitet mir einzig die Untergruppe noch etwas Probleme.
Ich hänge an einem Beweis bezüglich Untergruppen:
Seien f,g: G -> H zwei Grupenhomos.
zz: U = $\begin{eqnarray*} \left\{ g\in G:f\left(g\right) = h\left(g\right) \right\} \end{eqnarray*}$ ist Untergruppe von G.

Meine Ideen:
Die Sachen die ich nachprüfen muss sind klar:
1. $\begin{eqnarray*} e_{G} \in U \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} u_1*u_2 \in U \forall u_1,u_2 \in U \end{eqnarray*}$ wobei * die Verknüpfung von der Grupe G ist.
3. $\begin{eqnarray*} u^{-1} \in U \forall u \in U \end{eqnarray*}$

Unklar ist, welche Verknüpfung G überhaupt besitzt, ich schätze es ist +, bin mir aber nicht sicher.
Sehen Elemente von U wie folgt aus?:
Sei $\begin{eqnarray*} u \in U => u \in G : f\left(u\right) = h\left(u\right) \end{eqnarray*}$
Für 1. habe ich folgendes:
$\begin{eqnarray*} f\left(g\right) = h\left(g\right) <=> f\left(g\right)-h\left(g\right) = 0 = e_{G} \Rightarrow e_{G}\in U \end{eqnarray*}$
Für 2. und 3. benötige ich ja zwangsläufig die Verknüpfung der Gruppe G.
Für Hilfe wäre ich sehr dankbar!
MFG

07.01.2021, 15:32

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RE: Untergruppenbeweis

Zitat:

Für 2. und 3. benötige ich ja zwangsläufig die Verknüpfung der Gruppe G.

Nein, brauchst du nicht. Es ist vollkommen egal, wie diese Verknüpfung konkret aussieht. Es kommt allein auf deren Eigenschaften und die Eigenschaften von Gruppenhomomorphismen an.

Wie begründest du denn bei deinem Versuch zur 1. die letzte Implikation?

07.01.2021, 16:26

Kallemann1909(2)

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Gilt dies nicht, da f(g)-h(g) ein Element aus U ist?

07.01.2021, 16:43

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Ich gehe mal davon aus, deine Homomorphismen heißen f und h (nicht f,g, wie du eingangs geschrieben hast)
Dann sind f(g) und h(g) Elemente von H. Wie man es auch dreht und wendet, in U liegen die im allgemeinen nicht.
Und nochmal, sowas wie eine Differenz ist weder in G noch in H definiert, es gibt nur die inversen Elemente.

Ich setz dich mal auf die richtige Spur:
Du willst zeigen, dass $\begin{eqnarray*} e_G\in U \end{eqnarray*}$ ist. Zu zeigen ist also, dass $\begin{eqnarray*} f(e_G)=h(e_G) \end{eqnarray*}$ gilt.

07.01.2021, 17:10

Kallemann1909(2)

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Ah okay, vielen Dank.
Ja die Annahme mit f,h ist richtig und nicht f,g wie ich geschrieben hatte.

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