Unendliche Reihe

07.01.2021, 14:55	Il	Auf diesen Beitrag antworten »
Unendliche Reihe Meine Frage: Ich muss die Reihe (k+4)/(k^3-2k+5) von k=1 bis unendlich auf Konvergenz überprüfen, ich weiß dass diese Reihe konvergiert und das man dafür das Majorantenkritrium benutzt. Allerdings finde ich keine passende Abschätzung nach oben. Kann mir da jemand helfen? Meine Ideen: 2/k^2 wäre eine mögliche Majorante, dessen Reihe auch konvergieren würde, ich weiß aber nicht wie man das abschätzen soll
07.01.2021, 16:18	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst da einen relativ abstrakten Beweis führen. Du willst zeigen: $\begin{align} \frac{k+4}{k^3-2k+5} < \frac{2}{k^2} \end{align}$ Das sollte für fast alle natürlichen $\begin{align} k \end{align}$ , also alle mit höchstens endlich vielen Ausnahmen, gelten. Wenn du die Ungleichung mit $\begin{align} k^2 \end{align}$ durchmultiplizierst, erhältst du äquivalent: $\begin{align} \frac{k^3+4k^2}{k^3-2k+5} < 2 \end{align}$ Am besten beginnst du so: $\begin{align} \frac{k^3+4k^2}{k^3-2k+5} \to 1 \ \ \mbox{für} \ \ k \to \infty \end{align}$ Daß das so ist, sollte bekannt sein. Wenn aber der Grenzwert 1 ist, müssen fast alle Folgenglieder beliebig nahe bei 1 liegen, insbesondere kleiner als 2 sein. Es gibt also eine natürliche Zahl $\begin{align} k_0 \end{align}$ mit $\begin{align} \frac{k^3+4k^2}{k^3-2k+5} < 2 \ \ \mbox{für} \ \ k \geq k_0 \end{align}$ Klar, wie das zu Ende gebracht wird?
07.01.2021, 17:23	Il402	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt einfach das k_0 bestimmen? Wie würden Sie eigentlich so eine Aufgabe lösen, ich habe nämlich ziemlich lange für den Ansatz gebraucht.
07.01.2021, 23:38	versucher	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{k+4}{k^3-2k+5} < \frac{k+4}{k^3-16k}=\frac{k+4}{k(k-4)(k+4)}=\frac{1}{k(k-4)}<\frac{1}{(k-4)(k-4)}=\frac{1}{(k-4)^2} \end{eqnarray}$ Bringt diese Abschätzung für k>4 auch was oder ist sie nicht zielführend ?
08.01.2021, 00:02	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, geht auch - viele (allerdings grundsätzlich ähnliche) Wege führen hier nach Rom. Man könnte z.B. auch für alle $\begin{eqnarray} k\geq 3 \end{eqnarray}$ abschätzen $\begin{eqnarray} k^3-2k+5 > k^3-12k+16 = (k-2)^2(k+4) > 0 \end{eqnarray}$ , woraus dann $\begin{eqnarray} \sum_{k=3}^{\infty} \frac{k+4}{k^3-2k+5} < \sum_{k=3}^{\infty} \frac{1}{(k-2)^2} = \frac{\pi^2}{6} \end{eqnarray}$ folgt.

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