E-Feld nach dem Coulombschen-Gesetz

07.01.2021, 16:23

Pyrokrates

E-Feld nach dem Coulombschen-Gesetz

Meine Frage:
Hallo,

ich würde gerne das E-Feld einer zylindrischen Faser mittels Coulombschem Gesetz bestimmen.

$\begin{eqnarray*} \vec{E}(\vec(X))=k\cdot\int_{\partial\Omega}^{}\!\frac{Q}{||\vec{X}-\vec{S}||^3}\cdot(\vec{X}-\vec{S}) \, d\vec{S} \end{eqnarray*}$

Der Vektor X entspricht dabei eiem Punkt im Raum, während der Vektor S repräsentativ für Punkte auf der Oberfläche des Zylinders ist. Q ist die Oberflächenladungsdichte (C/m²), weshalb ich auch das Integral über der Oberfläche berechnen muss.

Ziel ist es, mit dem E-Feld die Kraft auf ein Partikel (Punktladung) an verschiedenen Stellen/Abständen zur Faser (entspricht Position Vektor X) zu bestimmen.

Meine Ideen:
Ich bin nicht gerade ein Experte, was Integralsätze oder Elektrotechnik angeht, aber hier ein paar meiner Ideen.

Da sich die Faser nicht über der Zeit entlädt, gehe ich davon aus, dass ich Q ausklammern und damit vor das Integral ziehen kann.
Zu berechnen ist meiner Meinung nach ein Oberflächenintegral 2. Art sprich einem Flussintegral. Sofern dies zutrifft, weiß ich aber nicht, wie genau ich weiter verfahren muss. Das Oberflächenintegral 2. Art ist definiert durch

$\begin{eqnarray*} \int\int_{\partial\Omega}\!\vec{v}\,d\vec{O}=\int\int_{\partial\Omega}\!\vec{v}\cdot\vec{n}\,dudv \end{eqnarray*}$

Meine Idee wäre nun, die ganze Sache in Zylinderkoordinaten zu berechnen. Damit wäre

$\begin{eqnarray*} \vec{S}=\begin{pmatrix} R\cdot cos(phi) \\ R\cdot sin(phi) \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und meine Grenzen gehen dann für phi von 0 bis 2*pi und für z von 0 bis 3 (entspricht der Länge der Faser).

Nun bin ich mir aber nicht sicher, ob bei der oben benannten Formel schon der Normalenvektor berücksichtig ist oder ob der gesamte Integralterm mein Vektor v ist. Bei der Herleitung des E-Feldes wird nämlich bereits der Vektor durch seinen Betrag geteilt.

Vielen Dank im Voraus für jegliche Hilfe.

Viele Grüße

Pyro

07.01.2021, 20:28

Ulrich Ruhnau

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RE: E-Feld nach dem Coulombschen-Gesetz
@Pyrokrates
Ich weiß nicht, wo Du diese Formel her hast, aber nur als Hinweis für die Integration über die Oberfläche des Drahtes:

$\begin{eqnarray*} \dd\vec S=\frac{\partial\vec S}{\partial\varphi}\times\frac{\partial\vec S}{\partial z}\dd \varphi\dd z \end{eqnarray*}$

Außerdem empfehle ich

$\begin{eqnarray*} \vec X=\begin{pmatrix} r \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zu benutzen und der Einfachheit halber von einem unendlich langen Draht auszugehen.

08.01.2021, 16:59

Pyrokrate

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RE: E-Feld nach dem Coulombschen-Gesetz
Hallo,

die Umformung von dS ist mir so auch bekannt wie du sie geschrieben hattest. Das wollte ich auch bereits ausprobieren, bin dann aber auf das Problem gestoßen, dass der Vektor S ja innerhalb meines Integrals in einer Art Verkettung mit den anderen Parametern vorkommt. dS so zu berechnen, und das Kreuzprodukt einfach an alles ranzumultiplizieren scheint für mich auch nicht korrekt zu sein.

Das wäre dann

$\begin{eqnarray*} \vec{E}(\vec{x})=k\cdot\int_{0}^{3}\int_{0}^{2\pi}\!\frac{Q}{|\vec{X}-\vec{S}|^3}\cdot(\vec{X}-\vec{S})\,d\cdot\vec{n}\,d\varphi dz \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} \vec{n}=\begin{pmatrix} R\cdot \cos(\varphi)\\ R\cdot sin(\varphi)\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Macht das aber so Sinn?

Viele Grüße

Pyro

08.01.2021, 23:22

Ulrich Ruhnau

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RE: E-Feld nach dem Coulombschen-Gesetz

Zitat:

Original von Pyrokrate
$\begin{eqnarray*} \vec{E}(\vec{x})=k\cdot\int_{0}^{3}\int_{0}^{2\pi}\!\frac{Q}{|\vec{X}-\vec{S}|^3}\cdot(\vec{X}-\vec{S})\,d\cdot\vec{n}\,d\varphi dz \end{eqnarray*}$
Macht das aber so Sinn?

Nein!

09.01.2021, 01:04

Luftikus

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Warum verwendest du nicht den elektrischen Fluss nach Gauss:

$\begin{eqnarray*} \phi_{el} = \int \vec E \cdot d \vec o =\frac{Q}{\epsilon_0} \end{eqnarray*}$

Aufgrund der Symmetrie des Problems bieten sich Zylinderkoordinaten für den Abstand r von der Faserachse an:

$\begin{eqnarray*} do = r \, d \varphi \, dz \end{eqnarray*}$

09.01.2021, 02:02

Pyrokrates

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Ich verwende nicht die Formel nach Gauss, da das Problem später komplexer wird... Mein erster Schritt ist es eine zylinderförmige Faser als Ladungsquelle zu wählen. Später wird das ganze noch etwas komplexer, da ein poröses Material aus vielen Fasern betrachtet wird. Dann kann ich zu jedem Zeitpunkt für gegebene Position X des Partikels und definierten Vektoren S zu den Oberflächen mit der gewähten Formel rechnen.

09.01.2021, 02:07

Pyrokrates

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RE: E-Feld nach dem Coulombschen-Gesetz

Zitat:

Hier ist übrigens ein Tippfehler... Das d vor dem Normalenvektor ist mir beim Formeleditor reingerutscht. Korrekt:

$\begin{eqnarray*} \vec{E}(\vec{x})=k\cdot\int_{0}^{3}\int_{0}^{2\pi}\!\frac{Q}{|\vec{X}-\vec{S}|^3}\cdot(\vec{X}-\vec{S})\,\cdot\vec{n}\,d\varphi dz \end{eqnarray*}$

09.01.2021, 05:53

Ulrich Ruhnau

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RE: E-Feld nach dem Coulombschen-Gesetz
Rechts steht doch ein Skalarprodukt. Wie soll dann der Vektor links herauskommen?
Mein Tipp:

Benutze die Maxwellgleichungen und den Satz von Gauß oder Stokes! Oder arbeite mit der allgemeinen Lösung der Maxwellgleichungen!

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