Exponenten herausfinden / Simultane Kongruenz

07.01.2021, 20:35	Riesenfaultier	Auf diesen Beitrag antworten »
Exponenten herausfinden / Simultane Kongruenz Meine Frage: Hallo, Leider habe ich ein Problem bei der schon erklärten Aufgabe: "2xmod1155=338 Bestimmen Sie x. (Ansatz über Primfaktorenzerlegung des Modulus)" Der User HAL 9000 hat hierbei schon ganze Arbeit geleistet und mich bis an die Lösung geführt. Leider ist es mir nicht möglich die Antwort 43 zu erhalten. Meine Ideen: Bevor ich das ganze kompliziert erkläre folgend der Lösungslink. https://www.matheboard.de/archive/589342/thread.html Bei der Antwort von Hal 9000 vom 15.12.2018, 21:21 entsteht ein Kongruenzsystem der folgenden Darstellung: x?1mod2 x?3mod4 x?1mod3 x?3mod10 Leider kann ich an diesem System aufrund der nicht zutrefenden Teilerfremdheit keinen Chinesischen Restsatz anwenden. Die Erklärung darunter verstehe ich leider nicht. Wie wird aus diesem Kongurenzsystem x?3mod20 ? Vielen Dank, lg. Riesenfaultier
07.01.2021, 21:01	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Bedingungen $\begin{eqnarray} x\equiv 3\bmod 4 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} x\equiv 3\bmod 10 \end{eqnarray}$ bedeuten, dass $\begin{eqnarray} (x-3) \end{eqnarray}$ sowohl durch 4 als auch durch 10 teilbar sein muss, mithin auch durch kgV(4,10)=20 . P.S: Es geht übrigens um $\begin{eqnarray} 2^x\bmod 1155 = 338 \end{eqnarray}$ statt um $\begin{eqnarray} 2x\bmod 1155 = 338 \end{eqnarray}$ . Nutze die "Zitat"-Funktion bei den entsprechenden Beiträgen in Exponent herausfinden dann kommen auch nicht so total vergurkte Formeldarstellungen zustande.
07.01.2021, 22:08	Riesenfaultier	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo HAL 9000, Vielen Dank für deine schnelle Antwort. Wie man auf 3mod20 kommt ist jetzt verständlich. Du hast damals geschrieben dass "die erste Kongruenz gilt automatisch wenn die Zweite erfüllt ist", heißt dass für mich dass ich die erste Gleichung dieses Systems vernachlässigen kann? Falls ja kannst du mir vl. den Satz nennen weshalb dies so ist? x Kongruent 1mod2 x Kongruent 3mod4 x Kongruent 1mod3 x Kongruent 3mod10 D.h. x = 20k+3 spiegeln die Zeilen 2,4 wieder. Diese Umformung verstehe ich noch. Leider weiß ich nicht wie du auf x = 20k + 3 Kongruent 1 mod 3 kommst bzw. wie die Umformung auf k Kongruent 2 mod 3 entsteht. "Insgesamt daher x Kongruent 2 * 20 + 3 = 43 mod 60" 220+3 Ist meine interpretation richtig, dass es sich bei den Multiplikanden (220) um Teilergleiche und bei den Summanden(+ 3) um Teilerfremde Modulo handelt? Mod 60 ergibt sich aus dem zuvor genannten kgV und dem 3er aus der dritten Gleichung? Entschuldige bitte die Formatierungsfehler, bin gerade erst beigetreten und kann die Funktionen noch nicht richtig benutzen. Außerdem entschuldige bitte mein spärliches Wissen, ich bin noch Anfänger im diesen Bereichen. lg.
07.01.2021, 22:51	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ ein Teiler von $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ , dann folgt aus $\begin{eqnarray} x\equiv a\bmod n \end{eqnarray}$ auch sofort $\begin{eqnarray} x\equiv a\bmod t \end{eqnarray}$ . Genau das kann man hier anwenden, d.h., aus $\begin{eqnarray} x\equiv 3\bmod 4 \end{eqnarray}$ folgt dann unmittelbar $\begin{eqnarray} x\equiv 3\bmod 2 \end{eqnarray}$ , letzteres ist gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray} x\equiv 1\bmod 2 \end{eqnarray}$ .
08.01.2021, 16:31	Riesenfaultier	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die schnelle Antwort, endlich habe ich es verstanden und wir konnten das Beispiel lösen. lg.

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