Das Ziegenproblem
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07.01.2021, 22:53 student1978 Auf diesen Beitrag antworten »
Das Ziegenproblem
Meine Frage:
Die meisten von euch kennen es bestimmt schon: Das Ziegenproblem. Eine kurze Beschreibung: In einer Show hat der Kandidat die Möglichkeit zwischen drei Toren zu wählen. Hinter einem Tor befindet sich der Hauptgewinn (Auto), hinter den anderen beiden Toren eine Niete (Ziege). Der Kandidat wählt in diesem Glücksspiel ein Tor aus. Der Moderator öffnet eines der anderen beiden Tore mit einer Ziege dahinter und fragt den Kandidaten, ob er das Tor nicht wechseln möchte. Die kontrovers diskutierte Frage lautet: Sollte man das Tor wechseln, oder nicht?

Meine Ideen:
Nun. Meine Überlegungen wären wie folgt: Es gibt drei Türen, also 1/3 Chance zu gewinnen und 2/3 Chance zu verlieren. Sagen wir der Kandidat wählt Tor 1 aus. Der Moderator öffnet nun ein Tor (entweder Tor 2 oder Tor 3, Tor 1 darf er ja nicht öffnen da der Kandidat diese ausgewählt hat) mit einer Ziege dahinter. Der Moderator darf also weder die Tür des Kandidaten noch die Tür mit dem Auto öffnen. Jetzt präsentieren sich dadurch vier verschiedene Fälle:

1) Kandidat wählt Tor 1, Auto ist hinter Tor 1, Moderator wählt Tor 2, Wechsel = Verlieren
2) Kandidat wählt Tor 1, Auto ist hinter Tor 1, Moderator wählt Tor 3, Wechsel = Verlieren
3) Kandidat wählt Tor 1, Auto ist hinter Tor 2, Moderator wählt Tor 3, Wechsel = Gewinnen
4) Kandidat wählt Tor 1, Auto ist hinter Tor 3, Moderator wählt Tor 2, Wechsel = Gewinnen

Also entsteht eine 2/4 Chance mit einem Wechsel zu verlieren und eine 2/4 Chance mit einem Wechsel zu gewinnen.

Aber das ist ja anscheinend nicht richtig?
08.01.2021, 00:08 HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Wahrscheinlichkeiten für die von dir aufgelisteten Fälle sind NICHT jeweils 1/4, sondern (in der Reihenfolge) 1/6, 1/6, 1/3, 1/3.
08.01.2021, 07:29 adiutor62 Auf diesen Beitrag antworten »

https://www.youtube.com/watch?v=QJYBEmcJ9TU
https://www.youtube.com/watch?v=FX2nrCM9xAw
08.01.2021, 11:37 Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

@Student1978
Es ist die "Alltagslogik" die immer wieder zu Problemen oder gar zu sogenannten Paradoxien führt.

Wenn ein Ereignissystem disjunkte Ereignisse = paarweise Unvereinbarkeit, besitzt,
dann sind diese Ereignisse nicht zwangsweise gleich wahrscheinlich.
Beim Würfeln mit 2 Würfeln und der Augensumme als Ausgang würde ich nicht mit meiner Wunsch-Zahl 5 gegen jemand wetten der die 7 bevorzugt. Augenzwinkern
08.01.2021, 18:16 Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
@Student1978
Es ist die "Alltagslogik" die immer wieder zu Problemen oder gar zu sogenannten Paradoxien führt.


Naja, mit "Alltagslogik" lässt sich das auch verstehen, wenn man einsieht, dass sich die Gewinnwahrscheinlichkeit durch öffnen eines Tors nicht ändert..

Dazu betrachte man 1 Millionen Tore mit einem Tor mit Gewinn.
Die Wahrscheinlichkeit ist 1/1000000, dass man richtig tippt, 999999/1000000 ist es ein anderes Tor.
Wenn jetzt 999998 falsche Tore geöffnet wurden, soll man dann tauschen oder nicht? smile
08.01.2021, 22:02 Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »

PS: man kann die Frage auch noch erweitern:

Ein "verspäteter Gast" B trifft ein nachdem nur noch 2 Tore übrig sind und er soll entscheiden, welches Tor gewählt wird. Er weiss, welches Tor Kandidat A ausgewählt hat. Wie soll sich B entscheiden?
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08.01.2021, 22:27 Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »

PPS: oder noch eine Modifikation:

wir lassen 1 Million Zuschauer abstimmen, welches Tor geöffnet werden soll. Zur Auswahl stehen dann der Mehrheitsvote, der Minderheitsvote und ein 3. Tor.
Wie soll sich jetzt ein Kandidat zwischen den 3 Toren entscheiden?
09.01.2021, 00:55 student1978 Auf diesen Beitrag antworten »

@HAL 9000

Moment einmal wieso denn 1/6?
09.01.2021, 01:00 student1978 Auf diesen Beitrag antworten »

@Luftikus

Eben das meine ich ja! Sagen wir, Kandidat Nr. 1 hat eine Tür ausgewählt und der Moderator eine Tür geöffnet, hinter der eine Ziege ist. Nun kommt Kandidat Nr. 2 und darf nun aus den zwei verbliebenen Türen eine auswählen, die eine Tür mit der Ziege ist bereits daraus ausgeschlossen. Dann ist die Chance ein Auto zu bekommen 1/2 und die Chance eine Ziege zu bekommen ebenfalls 1/2. Deswegen verstehe ich nicht warum das nicht stimmen soll...
09.01.2021, 01:29 Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von student1978
Deswegen verstehe ich nicht warum das nicht stimmen soll...


Aber beide Kandidaten haben unterschiedliche Bedingungen:

Die Münze von Kandidat A hat 3 Seiten und zeigt nur mit der statistischen Häufigkeiten 1/3 auf das richtige Tor, die von Kandidat B hat 2 Seiten und zeigt mit statistischer Häufigkeit 1/2 auf das richtige Tor.
Kandidat B kann aber die Statistik von A nutzen, um die Gewinnwahrscheinlichkeit zu verdoppeln, indem er die Seite seiner Münze favorisiert, die in der verworfenen 2/3 Ereignismenge von Kandidat A liegt.
09.01.2021, 02:27 Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

man zeichnet die Ereignisbäume unter der jeweiligen Strategie

H: Türe behalten
W: Türe wechseln


H:

code: 
1:
2:
3:
4:
5:
6:

       |-------->  Treffer 1/3 -----> Treffer1/3
       |
Start -|
       |
       |---------->  Niete 2/3 --------> Niete 2/3



W:

code: 
1:
2:
3:
4:
5:
6:

               Treffer 1/3 -----> Niete 1/3

Start

                Niete 2/3 --------> Treffer 2/3


und fertig. smile

Wer es nicht glaubt soll das Spiel 100 mal simulieren und dann selbst sehen.
Das Experiment entscheidet über den Wert einer Theorie und nicht der Glaube.

das "Problem" ergibt sich dadurch, dass "argumentiert" wird.
09.01.2021, 02:32 klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Das Ziegenproblem
PPPS: oder noch eine Modifikation:

Ich lese die ursprüngliche Frage extra aufmerksam, um festzustellen, dass student1978 wirklich nur die simpelste Variante des Glücksspiels meint - ohne Schnörkel, Sonderfälle, Zusatzannahmen, mit denen das Thema hier bereits totgeschrieben wurde.

Einzige Prämisse: Ich entscheide mich vorab endgültig, grundsätzlich immer zu wechseln, nachdem der Moderator ein Tor mit Ziege geöffnet hat.
Dann unterliegt nur die Auswahl des 1. Tores dem Zufall mit bekannter Wahrscheinlichkeit, aber nicht die Wechselentscheidung. Egal ob ich selbst das 1. Tor auswähle oder ein anderer (unterstellt, der tippt auch rein zufällig).
Folge: Ich erhalte stets das Gegenteil dessen, was sich - zunächst unbekannterweise - hinter dem 1. Tor befand.

So spiele ich nun das Spiel 100, 1000, 1000000 mal. In wievielen Fällen kann ich jeweils den Gewinn des Autos erwarten ?
05.12.2022, 15:51 AlZi71 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Das Ziegenproblem
Hi zusammen, mir ging das Problem nicht aus dem Kopf und eben bin ich wieder zufällig darauf gestoßen. In Wikipedia wird das Problem für mich hinreichend erläutert, dennoch sperrte sich mein Kopf, zu akzeptieren, dass dir Wahrscheinlichkeit zu gewinnen größer ist, wenn der Spieler bei drei(!) Türen seine Meinung ändert.

Vorweg: Ich habe das Szenario in C# nachprogrammiert und komme zu folgendem für mich befriedigenden (;-)) Ergebnis (in der Zeile nach einer Losgröße von 714770):
"run: 714770, won after changing: 357126 (50,0 %), won after not changing: 357644 (50,0 %)"

Ich habe die Solution mal angehängt, falls sich das jemand selbst ansehen will.

Wo ist der Haken? Meiner Meinung nach liegt der Haken in der irrigen Annahme, dass sich das Szenario ändert, wenn eine Auswahl getroffen wurde.

Die Erläuterung, man könne sich das besser vorstellen, wenn man von 100 Türen ausgeht, von denen der Spielleiter 98 öffnet. In dem Fall gibt mein Programm erwartungsgemäß folgendes aus:
"run: 452830, won after changing: 448187 (99,0 %), won after not changing: 4643 (1,0 %)"

Denn hier kommt der Spielleiter dem Spieler entgegen, indem er nicht das eine Türchen (50% der verbleibenden) öffnet, das auf jeden Fall ein Loser sein muss, sondern indem er fast 99% der Türchen öffnet, die Loser sind. Das ist ein Unterschied!

Hat denn niemand sonst dieses Wahrscheinlichkeitsproblem in der Praxis versucht nachzustellen?

Wenn ich mich täusche (wie angeblich die meisten): wo ist der Fehler? Konkret bitte in diesem Fall: wo ist der Programmierfehler?
05.12.2022, 16:23 HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe ich den Code richtig, dass "numberDoors" die Anzahl der Türen angibt, im Falle des klassischen Ziegenproblems also numberDoors=3 ?

Wieso schreibst du dann in Zeile 59

code: 
1:
2:

        int sportsCarIsBehindDoor = random.Next(1, numberDoors);

wo doch die Funktion random.Next(a, b) diskret gleichverteilte Zufallsgrößen im Bereich auswirft! D.h., mit dieser Zeile wählst du nur eine Tür im Bereich 1,2 aus, schließt also Tür Nr. 3 komplett aus??? Zeile 133 scheint genauso betroffen.

Wieso das? Einfach falsches Verständnis der Funktion random.Next(a, b), oder steckt was anderes dahinter?

Zum Nachlesen: https://learn.microsoft.com/de-de/dotnet...tem.random.next
05.12.2022, 19:32 AlZi71 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das war der Fehler. Ich hatte MaxValue inklusiv interpretiert. Ok... erstaunlich, das Ergebnis ist tatsächlich 66% beim Ändern der Wahl.

Sorry für den Fehler! Leider will das immer noch nicht in meinem Kopf, aber das ist mein Problem...
06.12.2022, 15:36 HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Fallauflistung im Eröffnungsbeitrag hätte eher so lauten sollen

1) Kandidat wählt Tor 1, Auto ist hinter Tor 1, mit den Unterfällen
1a) Moderator öffnet Tor 2, Wechsel zu 3 = Verlieren
1b) Moderator öffnet Tor 3, Wechsel zu 2 = Verlieren
2) Kandidat wählt Tor 1, Auto ist hinter Tor 2, Moderator öffnet Tor 3, Wechsel zu 2 = Gewinnen
3) Kandidat wählt Tor 1, Auto ist hinter Tor 3, Moderator öffnet Tor 2, Wechsel zu 3 = Gewinnen

Fall 1)2) und 3) haben jeweils Wahrscheinlichkeit 1/3 - zumindest wenn man annimmt, dass es seitens der Showverantwortlichen keine Bevorzugung irgendeiner Tür als Autoversteck gibt!
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