Partielle Integration

08.01.2021, 02:13	Alex998	Auf diesen Beitrag antworten »
Partielle Integration Integral gesucht von $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\pi/2} \! e^{2x} cos(x) \, dx \end{eqnarray}$ Habe folgende Berechnung, laut einem Programm kommt aber folgendes heraus: Endergebnis Programm:* $\begin{eqnarray} \frac{e^{2x} (sin(x) + 2 cos(x))}{5} + C \end{eqnarray*}$ 4,2281 (Programm) Vs. 4,6281 Flächeneinheiten --- wo habe ich unten etwas übersehen ???? [attach]52412[/attach]
08.01.2021, 03:26	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Doppelt partielle Integration Im Prinzip gibt es hier 2 Möglichkeiten: 1.) Man bestimmt zuerst eine Stammfunktion des Integranden (unbestimmtes Integral) und setzt dann die Grenzen ein. oder 2.) Man arbeitet von Anfang an konsequent mit bestimmten Integralen. Deine Berechnung ist etwas schwer zu durchschauen, da Du anscheinend keinen der beiden Wege durchgehalten hast. Sonst kann ich mir nicht erklären, dass Du offenbar ein $\begin{eqnarray} e^{\pi}sin(x) \end{eqnarray}$ bis zum Schluß mitgeschleppt hast. Ich habe Methode 2.) angewendet und als Ergebnis $\begin{eqnarray} \frac{e^{\pi}-2 }{5} \end{eqnarray}$ erhalten.
08.01.2021, 21:29	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie ich es sehe, stimmt im 1. Weg der Ansatz und auch der Vorgang der partiellen Integration, fast bis zum Schluss. Am Ende gibt es lediglich einen Schreibfehler, anstatt $\begin{eqnarray} e^x \end{eqnarray}$ sollte $\begin{eqnarray} e^{2x} \end{eqnarray}$ stehen: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\frac{\pi} 2} e^{2x} \cos x \dd x = \frac 1 5 (e^{2x} \sin x + 2 e^{2x} \cos x) \ \big\|_{0}^{\frac{\pi} 2} = \frac {e^{2x}} 5 (\sin x + 2 \cos x) \ \big\|_{0}^{\frac{\pi} 2} \end{eqnarray}$ Und - berechne zuerst das unbestimmte Integral, anstatt andauernd die Grenzen mitzuführen - du kannst die Grenzen dann zum Schluss in das Ergebnis einsetzen. (beim Ergebnisterm für das bestimmte Integral fehlt bei dir rechts noch die Angabe der Grenzen!). Noch etwas: Die Bezeichnung "doppelt partielle Integration" (war im Titel) ist entbehrlich, denn bei der partiellen Integration kann es durchaus vorkommen, dass im Verlauf mehrere Integrale zu berechnen sind. mY+
09.01.2021, 07:06	Alex998	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehe danke! Habe die Vorgehensweise aus dem Buch Engineering Mathematics verwendet. Dort wird leider auch mittendrin und nur ein Teil ausmultipliziert, werde jetzt erst immer am Ende das bestimmte Integral verwenden.
09.01.2021, 09:10	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
vgl: https://www.integralrechner.de/
09.01.2021, 12:24	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei diesen Integralen hat man nach ein paar Beispielen ja schon einen Verdacht, was die Struktur des Ergebnisses betrifft. Wenn man nicht gleich in einer Formelsammlung nachschauen oder einen Integralrechner bemühen will, kann man daher auch einen brauchbaren Ansatz für die Stammfunktion wählen. Für reelle $\begin{align} a,b \neq 0 \end{align}$ suchen wir zu $\begin{align} f \end{align}$ mit $\begin{align} f(x) = \operatorname{e}^{ax} \sin(bx) \end{align}$ eine Stammfunktion $\begin{align} F \end{align}$ und wählen dafür den Ansatz $\begin{align} F(x) = \operatorname{e}^{ax} \cdot \left( A \sin(bx) + B \cos(bx) \right) \end{align}$ mit noch zu bestimmenden Parametern $\begin{align} A,B \end{align}$ . Für die Ableitung von $\begin{align} F \end{align}$ erhält man $\begin{align} F'(x) = \operatorname{e}^{ax} \cdot \left( (aA - bB) \sin(bx) + (bA + aB) \cos(bx) \right) \end{align}$ und ein Koeffizientenvergleich mit $\begin{align} f(x) \end{align}$ führt auf ein lineares Gleichungssystem in $\begin{align} A,B \end{align}$ : $\begin{align} aA - bB = 1 \end{align}$ $\begin{align} bA + aB = 0 \end{align}$ Es hat die Lösung $\begin{align} A = \frac{a}{a^2 + b^2}, \ B = - \frac{b}{a^2 + b^2} \end{align}$ Somit gilt modulo einer Integrationskonstanten $\begin{align} \int \operatorname{e}^{ax} \sin(bx) ~ \dd x = \frac{\operatorname{e}^{ax}}{a^2 + b^2} \left( a \sin(bx) - b \cos(bx) \right) \end{align}$ Und analog $\begin{align} \int \operatorname{e}^{ax} \cos(bx) ~ \dd x = \frac{\operatorname{e}^{ax}}{a^2 + b^2} \left( a \cos(bx) + b \sin(bx) \right) \end{align}$
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12.01.2021, 00:45	Alex998	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm.. muss ich mir ansehen.

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