Fourier-Serie

08.01.2021, 06:38	sayuri20009	Auf diesen Beitrag antworten »
Fourier-Serie Meine Frage: Hallo zusammen Funktion = x(pi-x) Intervall ist zwischen [0,pi] ausserdem ist es gegeben, dass die Funktion ungerade ist. Wie kommt man auf die gelb markierten Terme? Hier muss ich doch auch dei partielle Integration machen oder? Wenn ich z.B. u = x(pi-x) = xpi - x^2 u' = pi - 2x v = sin(nx) V = ncos(nx) Somit ist an = 0 Meine Ideen: Im Bild sieht, das gelb markierte welches ich nicht verstehe. Kann das jemand kurz erklären?
08.01.2021, 09:29	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fourier-Serie $\begin{eqnarray} x \cdot (\pi - x) \cdot \sin nx = x \cdot \pi \cdot \sin nx - x^2 \cdot \sin nx \end{eqnarray}$ Integrieren und dann überlegen, was $\begin{eqnarray} \sin n \pi, \cos n \pi, n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ heißt. Viele Grüße Steffen
08.01.2021, 10:36	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann jetzt keinen Vorteil darin erkennen, daß man von der dritten auf die vierte Zeile ausmultipliziert. Man könnte die partielle Integration auch gleich in der dritten Zeile beginnen. Aber vielleicht liegen ja die gelb markierten Integrale in einer Formelsammlung vor. $\begin{align} f(x) = \frac{8}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin \left( (2k-1)x \right)}{(2k-1)^3} \end{align}$ Verblüffend fand ich, daß schon das erste Glied der Fourier-Reihe $\begin{align} f(x) \end{align}$ sehr gut approximiert, wie ich beim Zeichnen mit einem CAS feststellte: $\begin{align} f(x) \approx \frac{8}{\pi} \cdot \sin(x) \end{align}$ $\begin{align} \sin(x) \approx \frac{\pi}{8} \cdot x ( \pi - x ) \, , 0 \leq x \leq \pi \end{align}$ Setzt man $\begin{align} x = \frac{\pi}{2} \end{align}$ in die Fourier-Reihe ein, erhält man Näherungsformeln für $\begin{align} \pi \end{align}$ mit dritten Wurzeln. $\begin{align} f \left( \frac{\pi}{2} \right) = \frac{8}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{(2k-1)^3} \ \ \Leftrightarrow \ \ \frac{\pi^2}{4} = \frac{8}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{(2k-1)^3} \ \ \Leftrightarrow \ \ \pi^3 = 32 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{(2k-1)^3} \end{align}$ Bricht man die Reihe beim Glied mit dem Index $\begin{align} k=n \end{align}$ ab, so erhält man für $\begin{align} n=1 \end{align}$ den Wert $\begin{align} \pi \approx 2 \sqrt[3]{4} \approx 3{,}1748 \end{align}$ für $\begin{align} n=2 \end{align}$ den Wert $\begin{align} \pi \approx \frac{4}{3} \sqrt[3]{13} \approx 3{,}1351 \end{align}$ für $\begin{align} n=3 \end{align}$ den Wert $\begin{align} \pi \approx \frac{2}{15} \sqrt[3]{13108} \approx 3{,}1438 \end{align}$ für $\begin{align} n=4 \end{align}$ den Wert $\begin{align} \pi \approx \frac{4}{105} \sqrt[3]{560318} \approx 3{,}1406 \end{align}$ Die erste Näherung ist offenbar ein Zufallstreffer, die nächsten verbessern das Ergebnis nur sehr langsam. Das ist wohl bei einer Reihe mit $\begin{align} O(k^{-3}) \end{align}$ auch nicht anders zu erwarten.

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