Herleitung Volumenformel Prisma

08.01.2021, 11:11

PHSchu

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Herleitung Volumenformel Prisma

Meine Frage:
Gesucht ist das Volumen des abgebildeten Zeltes der Höhe h, dessen rechteckige Grundfläche die Seitenlängen a und b besitzen.

Ich soll es mit der Querschnittsformel herleiten.

Meine Ideen:
Ansatz: Integral von Q(x) = a*h*(b-x)/b

Stimmt das so?

08.01.2021, 11:29

HAL 9000

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RE: Herleitung Volumenformel Prisma

Zitat:

Original von PHSchu
Ansatz: Integral von Q(x) = a*h*(b-x)/b

Ich finde keine Schnittebenen durch das Zelt, wo dieser Ausdruck geometrisch irgendeinen Sinn ergeben würde.

Warum schneidest du nicht einfach parallel zur $\begin{eqnarray*} a,h \end{eqnarray*}$ -Ebene, dann bekommst du bekommst du die konstante Querschnittsfläche $\begin{eqnarray*} Q(y)=\frac{a\cdot h}{2} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} 0\leq y\leq b \end{eqnarray*}$ ?

08.01.2021, 11:35

PHSchu

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RE: Herleitung Volumenformel Prisma
Also integriere ich diese Funktion und was ist mit dem b?

08.01.2021, 11:46

HAL 9000

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Was soll denn sein mit dem $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ? Das ist das obere Ende des $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Integrationsbereichs, hatte ich doch deutlich geschrieben!

Du kannst natürlich die Schnittebenen auch gern anders anlegen, also etwa mit Querschnittsflächen $\begin{eqnarray*} Q(x) \end{eqnarray*}$ parallel zur $\begin{eqnarray*} b,h \end{eqnarray*}$ -Ebene oder $\begin{eqnarray*} Q(z) \end{eqnarray*}$ parallel zur $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ -Ebene, sofern dir einfache Integralberechnungen (wie von mir vorgeschlagen) zuwider sein sollten. smile

smile

08.01.2021, 11:48

PHSchu

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Also integriere ich die Querschnittsfläche Q(b) - Q(0)

08.01.2021, 11:50

HAL 9000

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Nein, es geht um $\begin{eqnarray*} \int\limits_0^b Q(y) ~ \dd y \end{eqnarray*}$ .

Was du evtl. gemeint hast, ist $\begin{eqnarray*} V(b)-V(0) \end{eqnarray*}$ mit Stammfunktion $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ , was etwas völlig anderes als $\begin{eqnarray*} Q(b)-Q(0) \end{eqnarray*}$ ist.

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08.01.2021, 11:55

PHSchu

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Also ist das Integral 1/4a ^2 *h +c_1 , tut mir leid wenn ich sehr dumm vorkomme.

08.01.2021, 11:57

PHSchu

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Ja, mit der Stammfunktion meinte ich es.

08.01.2021, 11:59

HAL 9000

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Nochmal: $\begin{eqnarray*} Q(y) = \frac{ah}{2} \end{eqnarray*}$ ist bzgl. Integrationsvariable $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ eine KONSTANTE !!!

Hast du denn so gar keine geometrische Vorstellung davon, was hier passiert??? Das Zelt wird parallel zur $\begin{eqnarray*} a,h \end{eqnarray*}$ -Ebene geschnitten: Jede dieser Schnittebenen zeigt dann ein- und dasselbe Dreieck mit Flächeninhalt $\begin{eqnarray*} \frac{ah}{2} \end{eqnarray*}$ , d.h., dieser Flächeninhalt ist unabhängig von der Position $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ dieser Schnittebene, zumindest solange $\begin{eqnarray*} 0\leq y\leq b \end{eqnarray*}$ ist, man also das Zelt in diesem Schnitt "erwischt".

08.01.2021, 12:02

PHSchu

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Ich kann mir das vorstellen, aber weiß nicht wie ich nun auf die Volumenformel komme.

08.01.2021, 12:12

HAL 9000

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Du weißt nicht, wieso das Zeltvolumen $\begin{eqnarray*} \int\limits_0^b Q(y) ~ \dd y = \int\limits_0^b \frac{ah}{2} ~ \dd y \end{eqnarray*}$ ist, oder du weißt nicht, wie man dieses Integral ausrechnet? verwirrt

verwirrt

Bei ersterem wäre ich einigermaßen erstaunt, da du hier mit dem Terminus "Querschnittsformel" im Gepäck aufgetaucht bist. Bei zweiterem muss ich mich schon sehr wundern, dass du keine konstanten Funktionen integrieren kannst. Erstaunt1

Erstaunt1

08.01.2021, 12:16

PHSchu

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Wäre das Integral nicht 1/4a^2 *h*y

08.01.2021, 12:22

gucker

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Du versuchst irgendwas mit einer Integration nach a, es wird aber nach y integriert !
Wie lautet also eine Stammfunktion, wenn man nach y integriert ?

08.01.2021, 12:23

PHSchu

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1/2a*h *y

08.01.2021, 12:24

gucker

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Korrekt. Besser noch F(y) = ...
Und was ergibt nun F(b) - F(0) ?

08.01.2021, 12:25

Scotty1701D

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Da wir hier im Unterforum „Geometrie“ sind, frage ich mich, warum du hier überhaupt Integralrechnung bemühen willst verwirrt

verwirrt

Wenn ich in meine Kristallkugel schaue, sehe ich, dass die Aufgabe vermutlich darin bestand, das Volumen des Zeltes durch horizontale Querschnitte zu bestimmen.
Dein Ansatz ist dann in etwa richtig, allerdings sind h und b vertauscht, und du verwendest y statt x.

Die Einwände von HAL sind allerdings sehr berechtigt geschockt

geschockt

08.01.2021, 12:26

PHSchu

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1/2 a*h *y

08.01.2021, 12:27

gucker

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Das ist nicht F(b) - F(0).
Du musst einmal y=b und einmal y=0 einsetzen.

08.01.2021, 12:28

PHSchu

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1/2a *h *b

08.01.2021, 12:28

PHSchu

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1/2 a * h*b

08.01.2021, 12:30

gucker

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So ist es.
Kannst du nachvollziehen, dass das nach der bekannten Schulformel aus der 7. Klasse für Prismen $\begin{eqnarray*} V=G \cdot h \end{eqnarray*}$ auch Sinn macht ?

08.01.2021, 12:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von Scotty1701D
Dein Ansatz ist dann in etwa richtig, allerdings sind h und b vertauscht, und du verwendest y statt x.

In dem Sinne $\begin{eqnarray*} Q(z) = ab\cdot \frac{h-z}{h} \end{eqnarray*}$ mit der vertikalen Koordinate $\begin{eqnarray*} z\in[0,h] \end{eqnarray*}$ kann man auch vorgehen, ja. Wie gesagt, wenn einem das mit den konstanten Integranden zu langweilig ist... Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.01.2021, 12:32

PHSchu

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Ja, danke!

08.01.2021, 12:33

PHSchu

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Tut mir leid für meine Verwirrtheit, danke nochmal und schönes Wochenende.

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