Verteilungsfunktion

09.01.2021, 14:52

Mesut95

Verteilungsfunktion

Meine Frage:
Hallo alle zusammen, gegeben sei die Dichtefunktion:

$\begin{eqnarray*} f_{\alpha}(x)= \mathbb{1_{R^+}(x)} \alpha x^{\alpha-1}e^{-x^\alpha} \end{eqnarray*}$ .

Nach der Lösung ist die Verteilungsfunktion dieser Dichtefunktion gleich:
$\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} e^{-(-x)^{\alpha}} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\leq 0 \end{eqnarray*}$ .

Wie kommt man aber darauf? Ich komme auf was ganz anderes unglücklich

Meine Ideen:
Ich komme auf:

$\begin{eqnarray*} F(x)&= \int_{-\infty }^{x} \! \mathbb{1_{R^+}(u)} \alpha u^{\alpha-1}e^{-u^\alpha} \, du \ \\ &= \int_{0}^{x} \! \alpha u^{\alpha-1}e^{-u^\alpha} \, du =1-e^{-x^a} \end{eqnarray*}$ für x>0 und für x<=0 ist die Verteilungsfunktion gleich 0.

Was ist nun richtig und was ist falsch?

09.01.2021, 15:33

HAL 9000

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Deine Verteilungsfunktion ist richtig, zumindest für $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ .

Die in der offiziellen Lösung angegebene Funktion ist die Verteilungsfunktion der Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} \left(-X\right) \end{eqnarray*}$ . Vielleicht hast du da irgend etwas missverstanden...

09.01.2021, 16:02

Mesut95

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Ahh okay, vielen Dank für den Hinweis Hal!

Die Berechnung würde dann wie folgt aussehen:

$\begin{eqnarray*} P(-X\leq x)=P(X>-x)=1-P(X \leq -x)= 1- (1-e^{-(-x)^\alpha})=e^{-(-x)^\alpha} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\leq 0 \end{eqnarray*}$

und für x>0 setzen wir einfach 1, wegen der Monotonie der Verteilungsfunktion, oder?

Noch eine kleine Frage:

Sei X Weibull-Verteilt. Im Skript wird nun von der Verteilungsfunktion der Weibull-Verteilung geredet, aber tatsächlich ist damit die Verteilungsfunktion von -X gemeint. Handelt es sich hierbei um einen Fehler oder ist das noch Akzeptabel?

Allgemeiner: Wenn X aaa-Verteilt ist, kann man dann sagen, dass -X auch aaa Verteilt ist ?

09.01.2021, 18:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mesut95
Allgemeiner: Wenn X aaa-Verteilt ist, kann man dann sagen, dass -X auch aaa Verteilt ist ?

I.a. selbstverständlich NICHT! Es sei denn, diese aaa-Verteilung ist symmetrisch zum Nullpunkt, dann ist es offensichtlich erfüllt - aber das trifft auf keine Weibull-Verteilung zu.

09.01.2021, 22:20

Mesut95

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oh okay, also ist -X nicht mehr Weibull Verteilt und dementsprechend wäre das, was im Skript steht falsch. Ich schreibe mal meinem Prof. Freude

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Verteilungsfunktion

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