Eckpunkte einer Raute berechnen - Vektoren

10.01.2021, 13:21

hariskdz

Eckpunkte einer Raute berechnen - Vektoren

Meine Frage:
Hey Leute, ich hoffe ihr könnt mir dabei helfen smile

Aufgabenstellung:

Die Raute ABCD A(2/1/z), B, C, D, M(1/-1/-2) ist Grundfläche einer geraden Pyramide mit der Spitze S(3/-4/-1); die Diagonale BD hat die Länge 46. Man bestimme die Koordinaten aller Eckpunkte und das Volumen der Pyramide sowie die Winkel zwischen den Kanten und der Grundfläche.[A(2/1/2); B(-3/-3/0); C(0/-3/-6); D(5/1/-4); V=56; ?=37,37°]

Meine Ideen:
Ich weiß wie man A fertig rechnet und C. V ist auch nich schwer. ABER B und D ? Edit (mY+): Hilferuf entfernt.

10.01.2021, 13:42

Leopold

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Du mußt die Sachen schon richtig angeben. $\begin{align*} \overrightarrow{BD} \end{align*}$ mit den angegebenen Lösungen hat nicht die Länge 46, sondern die Länge $\begin{align*} 4 \sqrt{6} \end{align*}$ .

Zur Berechnung von $\begin{align*} B \end{align*}$ und $\begin{align*} D \end{align*}$ beachte, daß

$\begin{align*} \overrightarrow{MB} \bot \overrightarrow{MA} \ \ \text{und} \ \ \overrightarrow{MB} \bot \overrightarrow{MS} \end{align*}$

Statt mit $\begin{align*} B \end{align*}$ gilt dies auch mit $\begin{align*} D \end{align*}$ . Ohne weitere Angaben können die Punkte $\begin{align*} B \end{align*}$ und $\begin{align*} D \end{align*}$ nicht auseinandergehalten werden.

Normiere daher das Kreuzprodukt von $\begin{align*} \overrightarrow{MA} \end{align*}$ und $\begin{align*} \overrightarrow{MS} \end{align*}$ und hänge sein $\begin{align*} \pm 2 \sqrt{6} \end{align*}$ -faches an $\begin{align*} \overrightarrow{OM} \end{align*}$ an. So kommst du zu $\begin{align*} B \end{align*}$ und $\begin{align*} D \end{align*}$ .

10.01.2021, 14:17

hariskdz

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Edit (mY+): Vollzitat entfernt. Bitte verwende zur Antwort NICHT den Zitat-, sondern den Antwort-Button!

Ja danke, warum muss man $\begin{align*} \pm 2 \sqrt{6} \end{align*}$ anhängen und wie macht man dies? Warum benötigt man überhaupt den Kreuzvektor von MS und MA ?? LG

10.01.2021, 15:07

punkti

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Gewisse Vektoren stehen hier nun mal senkrecht zueinander (siehe Skizze) :

Du kannst auch ohne das Kreuzprodukt mittels Skalarprodukt arbeiten, denn gesucht ist ja der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{BD} \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} \vec{BD} \cdot \vec{MS}=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{BD} \cdot \vec{AC}=0 \end{eqnarray*}$ .
Das daraus entstehende LGS hat zunächst unendlich viele Lösungen.
Mit der Zusatzbedingung über die Länge des gesuchten Vektors, wird es dann aber nur noch zweideutig (es müssen ja mit B und D zwei Punkte bestimmt werden).

Damit gilt dann:

$\begin{eqnarray*} \vec{OB}=\vec{OM}+\frac{1}{2} \cdot \vec{BD_1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{OD}=\vec{OM}+\frac{1}{2} \cdot \vec{BD_2} \end{eqnarray*}$

10.01.2021, 15:32

hariskdz

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Zitat:

Original von punkti
Gewisse Vektoren stehen hier nun mal senkrecht zueinander (siehe Skizze) :

Du kannst auch ohne das Kreuzprodukt mittels Skalarprodukt arbeiten, denn gesucht ist ja der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{BD} \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} \vec{BD} \cdot \vec{MS}=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{BD} \cdot \vec{AC}=0 \end{eqnarray*}$ .
Das daraus entstehende LGS hat zunächst unendlich viele Lösungen.
Mit der Zusatzbedingung über die Länge des gesuchten Vektors, wird es dann aber nur noch zweideutig (es müssen ja mit B und D zwei Punkte bestimmt werden).

Damit gilt dann:

$\begin{eqnarray*} \vec{OB}=\vec{OM}+\frac{1}{2} \cdot \vec{BD_1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{OD}=\vec{OM}+\frac{1}{2} \cdot \vec{BD_2} \end{eqnarray*}$

Hey danke, aber was ist OM jetzt auf einmal??

10.01.2021, 15:39

punkti

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An dieser Frage merkt man erhebliche Lücken bei dir im Umgang mit Vektoren.
Das ist der Ortsvektor zum Punkt M, also der Vektor vom Ursprung O(0|0|0) zu M.
Das ist so mit das erste, was man zu Vektoren im Unterricht behandelt. verwirrt

Kennt man den Ortsvektor zu einem Punkt P, so kennt man auch die Koordinaten dieses Punktes.

10.01.2021, 15:50

hariskdz

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hmm..

Ja ich tue mir auch sehr schwer, wenn es um Vektoren geht. Wie weißt du das O(0|0|0) ist ??
Und was ist auf einmal BD1 und BD2?
Ich kann die Gleichung ja nicht berechnen da 2 Punkte gesucht sind?
lg

10.01.2021, 16:53

punkti

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Zitat:

Und was ist auf einmal BD1 und BD2?

Ich habe die beiden Vektoren so nummeriert, da man ja (wie erwähnt) vorher zwei Lösungen erhält.
Starte doch mal mit dem Lösen des LGS oder nimm den Ansatz von Leopold.

Nur nochmal so viel zum Entwickeln eines Ansatzes:

Wenn man die Koordinaten eines Punktes sucht (hier die von B und D), dann hat man meist 3 Möglichkeiten :

1) Ablesen
2) Objekte miteinander schneiden (Z.B. Gerade mit Gerade oder Ebene mit Gerade)
3) Aufstellen einer Vektorkette, die einen alternativen Weg vom Ursprung O zum gesuchten Punkt darstellt

Ich habe mich für 3) entscheiden, da 1) und 2) hier wohl nicht zielführend ist.

Darauf basierend bastelt man sich dann den Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{BD} \end{eqnarray*}$ durch das oben geschilderte Gleichungssystem, denn den braucht man ja (bzw. die Hälfte davon) um von O über M zu B bzw. D zu gelangen.

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