Ungleichung e^x/x > x/2

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studentsms Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung e^x/x > x/2
Meine Frage:
Hallo Zusammen,
Aufgabe:
Zu Zeigen ist, dass für alle x > 0 die folgende Ungleichung gilt:
(e^x)/x > x/2

b) Bestimmte die folgenden Grenzwerte
i) e^x/x
ii) x*e^x


Meine Ideen:

Problem/Ansatz:
Mein Ansatz ist a) ist zuerst zu zeigen, dass x/2 > 0 ist, indem ich Umforme zu x^2 > 0 und x^2 >= 2x und somit >0.
Danach weiß ich, dass e^x = 0, + inf ist und 0 geteilt durch etwas ist immer 0, deswegen weiß ich nicht, wie ich zeigen soll, dass e^x/x > x/2 ist.
Wie kann ich es umformen, dass ich zu dieser Lösung komme?
Vielleicht Arbeit mit ln (x) *x ?

zu b) wird i) klar, wenn ich Aufgabenteil a) bewiesen habe
bei ii) muss durch Umformung denke ich x/e^x = 0 raus kommen
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RE: Ungleichung e^x/x > x/2
a) folgt sofort aus der Potenzreihendarstellung von
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Bei den Grenzwerten: Wohin geht x?
--> L'Hospital
graphzahl Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Ideen zu a) kann ich nicht nachvollziehen.

Mein analytischer Ansatz alternativ zur Potenzreihe wäre:

Die zu zeigende Ungleichung ist für x>0 ja äquivalent zu

Betrachtet man also die Graphen zu und und deren Ableitungen so wie g'(x)=x und g''(x)=1, dann folgt wegen f''(x)>0 und g''(x)=1>0, dass beide Graphen für alle x stets linksgekrümmt sind und ihr Krümmungsverhalten auch nicht ändern werden.
Ebenso sind die Graphen wegen f'(x)>0 und g'(x)=x>0 streng monoton steigend.
Somit verlaufen die Graphen für x>0 immer steiler werdend nach oben (*) .
Für x ---> 0 strebt der Graph von f gegen 1 und der Graph von g gegen 0, was schon mal einen höher liegenden y-Achsenabschnitt bei f suggeriert.
Für x ---> 0 strebt f ' gegen 1 und g ' gegen 0, was dazu auch noch eine höhere Anfangssteigung beim Graphen von f liefert.
Aus (*) folgt dann die obige Ungleichung.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Deine ganze textausufernde Argumentation trifft in wesentlichen Punkten genauso auf zu. Es ist aber mitnichten für alle . Daher ist da was faul... verwirrt
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Was kannst du an nicht nachvollziehen?

Aber wenn du lieber bei deiner Vorgenhensweise bleiben willst: Begründe dass und integriere.
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Der Vorschlag mit der Potenzreihe ist natürlich unschlagbar. Dennoch hier ein weiterer:



Du kannst daher auch mit Mitteln der Schulmathematik eine Monotonieuntersuchung für die Funktion mit



durchführen. Damit kannst du sogar die schärfere Ungleichung



nachweisen.
Scotty1701D Auf diesen Beitrag antworten »

Das sind alles schöne Vorschläge zur Lösung der Aufgabe.
Mir stellt sich hier aber zunächst die Frage, was der OP überhaupt zur Lösung verwenden darf. Anhand der Aufgaben vermute ich mal, Ableitungen inkl. de L‘Hospital oder gar Integrale sind noch nicht definiert, und die Lösung soll mit Grenzwerten erfolgen.

Hier wäre es wichtig zu wissen, was über bisher bekannt ist, bzw, wie definiert wurde.
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