[WS] Kreisberechnungen

22.10.2003, 15:19	alpha	Auf diesen Beitrag antworten »
[WS] Kreisberechnungen Inhaltsverzeichnis Der Kreis Die Kreisfläche Der Umfang Der Kreisausschnitt Der Kreisbogen Einheitskreis und Bogenmaß Der Kreisabschnitt
22.10.2003, 15:19	alpha	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Kreis Der Kreis wird durch den Radius definiert. Der Radius (oft als r in Formeln definiert) ist die Entfernung aller Randpunkte vom Mittelpunkt (der normalerweise mit M gekennzeichnet ist). Das andere Maß am Kreis ist der Durchmesser (oft als d in Formeln definiert), der immer die doppelte Länge des Radius hat. Er misst die Strecke zwischen zwei Randpunkten, die durch den Mittelpunkt führt.
22.10.2003, 15:19	alpha	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Fläche, die der Kreis einschließt (hie rot) wird durch den Radius mit $\begin{eqnarray} r^2 \pi \end{eqnarray}$ berechnet. Dabei ist $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ (sprich: Pi) eine Zahl, die sich nicht exakt bestimmen lässt. Der Wert von $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ liegt dabei ungefähr bei 3,1415926535897932384626433832795… Aber um mit $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ zu rechnen nimmt man normalerweise 3,14 oder $\begin{eqnarray} 3\frac{1}{7} \end{eqnarray}$ .
22.10.2003, 15:20	alpha	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Umfang eines Kreises (hier rot markiert) kann man sich so vorstellen: Wie lang wäre ein Band, das nur auf den Randpunkten des Kreises liegt. Zur Berechnung des Umfangs benutzt man entweder die Durchmesser $\begin{eqnarray} (\text{Umfang} = d \pi) \end{eqnarray}$ oder dem Radius $\begin{eqnarray} (\text{Umfang} = 2r \pi) \end{eqnarray}$ Die beiden Formeln sind eigentlich identisch, bis auf die Schreibweise.
22.10.2003, 15:21	alpha	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Kreisausschnitt (hier rot) ist ein durch einen Winkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ definierter Teil eines Kreises. Er wird berechnet durch $\begin{eqnarray} \text{Fläche A} = \frac{\alpha}{360^\circ}\cdot r^2 \cdot \pi \end{eqnarray}$ . Es wird dabei lediglich der Anteil des Kreises berechnet, der durch $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ abgegrenzt ist.
22.10.2003, 15:21	alpha	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Kreisbogen (hier rot) ist ein durch einen Winkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ definierter Teil des Umfangs eines Kreises. Er wird berechnet durch $\begin{eqnarray} \text{Umfang u} = \frac{\alpha}{180^\circ} \cdot r \cdot \pi \end{eqnarray}$ Es ist wiederum nur der Anteil des Umfangs, der durch $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ definiert ist. Dabei wird jedoch nicht durch 360° geteilt, weil der Umfang schon $\begin{eqnarray} 2r \end{eqnarray}$ beinhaltet.
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22.10.2003, 15:21	alpha	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Kreis mit dem Radius r=1 (1 Längeneinheit) heißt Einheitskreis. Statt Winkel in Grad zu messen, kann man auch die zugehörige Bogenlänge im Einheitskreis verwenden. Dieses Winkelmaß heißt Bogenmaß. Ist $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ die Größe eines Winkels in Grad und x das entsprechende Bogenmaß, so gilt $\begin{eqnarray} x = \frac{\pi}{180^\circ} \cdot \alpha \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \alpha = \frac{180^\circ}{\pi} \cdot x \end{eqnarray}$ .
22.10.2003, 15:22	alpha	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Kreisabschnitt (hier rot) ist durch eine Sekante gekennzeichnet, die die Strecke h zur parallelen Tangente hat. Zur Berechnung gibt es zum einen die (einfachere) spezielle Formel $\begin{eqnarray} \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot r^2 \cdot \pi - \frac{1}{2} \cdot s \cdot (r-h) \end{eqnarray}$ , wobei s die Strecke zwischen den beiden Sekantpunkten ist. Zum anderen gibt es die (schwierigere) allgemeine Formel (a maestro alpha ): $\begin{eqnarray} \frac{2 \cdot \arcsin \left( \frac{\sqrt{r^2-\left( r-h \right)^2} }{r} \right)}{360^\circ} \cdot r^2 \pi - \left (r-h \right) \cdot \sqrt{r^2-\left( r-h \right)^2} \end{eqnarray}$

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