Basis, gleiche darstellende Matrix

10.01.2021, 21:10

Gast01

Basis, gleiche darstellende Matrix

Meine Frage:
Hallo, ich habe eine Frage:
Sei V ein endlich-dimensionaler R-Vektorraum und T e L(V). Zeigen Sie: genau dann ist T = µ*1v für ein µ e R, wenn T bezüglich jeder Basis von V die gleiche darstellende Matrix hat.

Meine Ideen:
Ich komme leider nicht auf den Ansatz, vielen Dank im Voraus für eure Hilfe

10.01.2021, 22:01

Leopold

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Ich vermute, daß das $\begin{align*} T = \mu \cdot 1_V \end{align*}$ heißen soll und daß damit das $\begin{align*} \mu \end{align*}$ -fache der Identität gemeint ist.

Die Richtung von links nach rechts ist trivial. Man kann die Matrix konkret angeben.

Jetzt die Richtung von rechts nach links. Wir setzen also voraus, daß $\begin{align*} T \end{align*}$ bezüglich jeder Basis dieselbe darstellende Matrix besitzt.

Dann nehmen wir doch einmal eine solche Basis

$\begin{align*} e_1,e_2,e_3,\ldots,e_n \end{align*}$

Beachte, daß auch

$\begin{align*} e_2,e_1,e_3,\ldots,e_n \end{align*}$

wo nur die ersten beiden Basiselemente vertauscht wurden, wieder eine Basis ist, daß die darstellende Matrix aber dieselbe ist wie bezüglich der ersten Basis. Daraus kannst du etwas über die Matrixelemente an den Stellen (1,1) und (2,2) herausbekommen.
Und statt $\begin{align*} e_1 \end{align*}$ und $\begin{align*} e_2 \end{align*}$ zu vertauschen, kannst du auch $\begin{align*} e_1 \end{align*}$ und $\begin{align*} e_3 \end{align*}$ vertauschen oder $\begin{align*} e_1 \end{align*}$ und $\begin{align*} e_4 \end{align*}$ oder ...

Und dann ist ja auch

$\begin{align*} -e_1,e_2,e_3,\ldots,e_n \end{align*}$

eine Basis mit wieder derselben darstellenden Matrix. Auch da kann man etwas für gewisse Elemente der Matrix herausfinden.

11.01.2021, 15:54

Luftikus

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Du hast gewonnen, wenn du die gleiche Darstellung von T für jede beliebige Basis wie zur kanonischen Basis beweist.

Sei also die kanonische Basis $\begin{eqnarray*} K=\{e_i\} \end{eqnarray*}$ gegeben und eine beliebige Basis $\begin{eqnarray*} B=\{b_i\} \end{eqnarray*}$

Weiter seien o.B.d.A. die kanonische Basis als Linearkombination der Basisvektoren von B dargestellt:
(*) $\begin{eqnarray*} e_i=\alpha_{i1} \cdot b_1+..+\alpha_{in} \cdot b_n \end{eqnarray*}$

Es gilt dann:

(i) $\begin{eqnarray*} T_K(e_i)=\mu \cdot e_i \end{eqnarray*}$

(ii) $\begin{eqnarray*} T_B(e_i)=\alpha_{i1} \cdot T_B(b_1)+..+\alpha_{in} \cdot T_B(b_n) \end{eqnarray*}$

Wir zeigen die Behauptung für beliebige Basisvektoren, sie gilt dann analog für jeden Vektor in der jeweiligen Basisdarstellung:

1.Fall "=>": $\begin{eqnarray*} T_B(b_i)=\mu \cdot b_i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_B(e_i)=\mu(\alpha_{i1} \cdot b_1+..+\alpha_{in} \cdot b_n)=\mu \cdot e_i=T_K(e_i) \end{eqnarray*}$

2. Fall "<=": $\begin{eqnarray*} T_B(e_i)=T_K(e_i) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha_{i1} \cdot T_B(b_1)+..+\alpha_{in} \cdot T_B(b_n)=\mu \cdot e_i \overset{(*)}{=} \mu(\alpha_{i1} \cdot b_1+..+\alpha_{in} \cdot b_n) \rightarrow T_B(b_i)=\mu \cdot b_i \end{eqnarray*}$

11.01.2021, 16:30

Leopold

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Was ist denn im Vektorraum $\begin{align*} V \end{align*}$ , der von den Lösungen der linearen Differentialgleichung

$\begin{align*} 3x^2 y^{(6)} - xy^{(5)} + \operatorname{e}^{2x} y^{(4)} - 4 \operatorname{e}^{-3x} y''' + y'' - \left( 2x + \operatorname{e}^x \right) y' + x^4 y = 0 \end{align*}$

gebildet wird, die kanonische Basis?

Und was sollen zum Beispiel $\begin{align*} T_K \end{align*}$ und $\begin{align*} T_B \end{align*}$ bedeuten? Es gibt hier nur eine Abbildung, und die heißt $\begin{align*} T \end{align*}$ .

Zitat:

Original von Luftikus
Es gilt dann:

(i) $\begin{eqnarray*} T_K(e_i)=\mu \cdot e_i \end{eqnarray*}$

(ii) $\begin{eqnarray*} T_B(e_i)=\alpha_{i1} \cdot T_B(b_1)+..+\alpha_{in} \cdot T_B(b_n) \end{eqnarray*}$

Wann gilt was? Was setzt du voraus?

Vielleicht bin ich zu blöd. Aber ich kann in diesen Aufzeichnungen keinen Zusammenhang zur Aufgabe erkennen.

11.01.2021, 17:30

Luftikus

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Zitat:

Original von Leopold
Was ist denn im Vektorraum $\begin{align*} V \end{align*}$ , der von den Lösungen der linearen Differentialgleichung

$\begin{align*} 3x^2 y^{(6)} - xy^{(5)} + \operatorname{e}^{2x} y^{(4)} - 4 \operatorname{e}^{-3x} y''' + y'' - \left( 2x + \operatorname{e}^x \right) y' + x^4 y = 0 \end{align*}$

gebildet wird, die kanonische Basis?

Und was sollen zum Beispiel $\begin{align*} T_K \end{align*}$ und $\begin{align*} T_B \end{align*}$ bedeuten? Es gibt hier nur eine Abbildung, und die heißt $\begin{align*} T \end{align*}$ .

Zitat:

Wann gilt was? Was setzt du voraus?

Hm, ich setze eigentlich allgemein nur die linearen Eigenschaften des (endlichen) Vektorraums (hier R^n) und der Abbildungen voraus, insbesondere natürlich die vorgegebenen Bedingungen.
So die Linearkombination von Basisvektoren von Basisvektoren. Was ich "dann" gilt, ist also auch nur eine allgemeine Darstellung unter gegebenen Bedingungen.
M_B(v) sind die Koordinaten des Bildes von v in der Basis B, also bezüglich der Darstellung von M (im R^n).
Kanonische Basis sind für mich (normierte) Basisvektoren, die genau eine 1-Koordinate haben.

zB. in Zeilenvektoren im R^2:

K={(1,0),(0,1)}, B={(1,1), (1,-1)}, e1=(1,0) = 1/2 ((1,1)+(1,-1)), e2=(0,1)=-1/2 ((1,1)-(1,-1)

T=k*((1 0) (0 1))

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