Diagrammjagd, injektiv, surjektiv

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11.01.2021, 10:33	Fumez	Auf diesen Beitrag antworten »
Diagrammjagd, injektiv, surjektiv Meine Frage: Hallo liebe Community, ich habe mal eine Frage an euch, bezüglich einer Aufgabe die ich bearbeite: Seien $\begin{eqnarray} \varphi:V\rightarrow W , \psi :V'\rightarrow W' \end{eqnarray}$ Isomorphismen und seinen $\begin{eqnarray} \alpha : V\rightarrow V', \beta :W\rightarrow W' \end{eqnarray}$ lin. Abb. Außerdem gelte: $\begin{eqnarray} \beta \circ \varphi = \psi \circ \alpha \end{eqnarray}$ 1. zz: $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ injektiv <=> $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ injektiv 2. zz: $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ surjektiv <=> $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ surjektiv Meine Ideen: 1. habe ich so "gerechnet": Sei $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ injektiv => $\begin{eqnarray} \alpha \left ( v_1 \right ) =\alpha \left ( v_2 \right ) \Leftrightarrow \left ( \psi \circ \alpha \right )\left ( v_1 \right ) = \left ( \psi \circ \alpha \right )(v_2) \Leftrightarrow \left ( \psi \circ \alpha \right )\left ( v_1 \right ) - \left ( \psi \circ \alpha \right )(v_2) = 0 \Leftrightarrow \left ( \beta \circ \varphi \right )\left ( v_1 \right )-\left ( \beta \circ \varphi \right )\left ( v_2 \right )=0 \Leftrightarrow \left ( \beta \circ \varphi \circ \varphi^{-1} \right )\left ( v_1 \right ) - \left ( \beta \circ \varphi \circ \varphi^{-1} \right )\left ( v_2 \right ) \Leftrightarrow \beta \left ( v_1 \right )-\beta \left ( v_2 \right ) = 0 \Leftrightarrow \beta \left ( v_1-v_2 \right )=0 \Rightarrow v_1-v_2 = 0\Leftrightarrow v_1 = v_2 \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ injektiv Sein nun $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ injektiv => $\begin{eqnarray} \beta \left ( w_1 \right ) =\beta \left ( w_2 \right ) \Leftrightarrow \left ( \beta \circ \varphi \right )\left ( w_1 \right ) = \left ( \beta \circ \varphi \right )\left ( w_2 \right ) \Leftrightarrow \left ( \psi \circ \alpha \right )\left ( w_1 \right ) = \left ( \psi \circ \alpha \right )\left ( w_2 \right ) \Leftrightarrow \left ( \psi^{-1}\circ \psi \circ \alpha \right )\left ( w_1 \right ) = \left ( \psi^{-1}\circ \psi \circ \alpha \right )\left ( w_2 \right )\Leftrightarrow \alpha \left ( w_1 \right ) = \alpha \left ( w_2 \right )\Leftrightarrow \alpha \left ( w_1-w_2 \right ) = 0 \Rightarrow w_1-w_2 = 0\Leftrightarrow w_1 = w_2 \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ injektiv Bei 2. komme ich leider garnicht weiter: Die Definition von Surjektiv ist natürlich: $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ surjektiv, wenn gilt: $\begin{eqnarray} \forall v' \in V' \exists v \in V : \alpha \left ( v \right ) = v' \end{eqnarray}$ Vielen Dank im vorraus für die Hilfe!
11.01.2021, 11:36	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweisskizze: $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ surjektiv $\begin{eqnarray} \Rightarrow \psi\circ\alpha \end{eqnarray}$ surjektiv $\begin{eqnarray} \Rightarrow \beta\circ\varphi \end{eqnarray}$ surjektiv $\begin{eqnarray} \Rightarrow \beta \end{eqnarray}$ surjektiv $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ nicht surjektiv $\begin{eqnarray} \Rightarrow \psi\circ\alpha \end{eqnarray}$ nicht surjektiv $\begin{eqnarray} \Rightarrow \beta\circ\varphi \end{eqnarray}$ nicht surjektiv $\begin{eqnarray} \Rightarrow \beta \end{eqnarray}$ nicht surjektiv (detaillierte Begründungen ?)
11.01.2021, 11:43	Fumez	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, vielen Dank für die Antwort. Meinen Sie mit detaillierte Begründungen etwas bezüglich ihrer Beweisskizze (warum folgt das aus dem) oder meinen Sie meinen Beweis, bezüglich der Injektivität? Ist mein Beweis denn korrekt? MFG
11.01.2021, 12:44	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir duzen uns hier im Matheboard, weil wir Mathematiker hier ganz privat unter uns sind. Mit der Frage nach Details meinte ich den Beweis für die Surjektivität. Injektivität sehe ich mir jetzt noch mal genauer an und melde mich in Kürze wieder. Rückmeldung: Nein ist nicht korrekt. $\begin{eqnarray} \beta(v_1-v_2)=0\Rightarrow v_1-v_2=0 \end{eqnarray}$ setzt $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ injektiv voraus. das ist aber gerade zu beweisen. Derselbe Fehler bei $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ . Beweisskizze exakt wie bei surjektiv.
11.01.2021, 14:11	Fumez	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, danke für die Antwort, neuer Versuch erstmal nochmal bzgl. der Injektivität: Seien $\begin{eqnarray} \psi, \alpha \end{eqnarray}$ injektiv nach Vorraussetzung und seien $\begin{eqnarray} w_1, w_2 \in W \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \beta \left ( w_1 \right ) = \beta \left ( w_2 \right ) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \beta \left ( w_1 \right ) = \beta \left ( w_2 \right ) \Leftrightarrow \left ( \beta \circ \varphi \circ \varphi^{-1} \right )\left ( v_1 \right ) = \left ( \beta \circ \varphi \circ \varphi^{-1} \right )\left ( v_2 \right ) \Leftrightarrow \left ( \psi \circ \alpha \circ \varphi^{-1} \right )\left ( v_1 \right ) = \left ( \psi \circ \alpha \circ \varphi^{-1} \right )\left ( v_2 \right ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \varphi^{-1}\left ( v_1 \right ) = \varphi^{-1}\left ( v_2 \right ) [latex], da [latex] \psi, \alpha \end{eqnarray}$ injektiv nach Vorraussetzung $\begin{eqnarray} \Rightarrow v_1 = v_2 \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ Isomorphismus nach Vorraussetzung Passt es so bzgl der Injektivität?
11.01.2021, 14:15	Fumez	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, danke für die Antwort, neuer Versuch erstmal nochmal bzgl. der Injektivität: => Seien $\begin{eqnarray} \psi, \alpha \end{eqnarray}$ injektiv nach Vorraussetzung und seien $\begin{eqnarray} w_1, w_2 \in W \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \beta \left ( w_1 \right ) = \beta \left ( w_2 \right ) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \beta \left ( w_1 \right ) = \beta \left ( w_2 \right ) \Leftrightarrow \left ( \beta \circ \varphi \circ \varphi^{-1} \right )\left ( v_1 \right ) = \left ( \beta \circ \varphi \circ \varphi^{-1} \right )\left ( v_2 \right ) \Leftrightarrow \left ( \psi \circ \alpha \circ \varphi^{-1} \right )\left ( v_1 \right ) = \left ( \psi \circ \alpha \circ \varphi^{-1} \right )\left ( v_2 \right ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \varphi^{-1}\left ( v_1 \right ) = \varphi^{-1}\left ( v_2 \right ) [latex], da [latex] \psi, \alpha \end{eqnarray}$ injektiv nach Vorraussetzung $\begin{eqnarray} \Rightarrow v_1 = v_2 \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ Isomorphismus nach Vorraussetzung <= Seien $\begin{eqnarray} \varphi, \beta \end{eqnarray}$ injektiv nach Vorraussetzung und seien $\begin{eqnarray} v_1, v_2 \in v \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \alpha \left ( v_1 \right ) = \alpha \left ( v_2 \right ) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \alpha \left ( v_1 \right ) = \alpha \left ( v_2 \right ) \Leftrightarrow \left ( \psi \circ \alpha \right )\left ( v_1 \right ) = \left ( \psi \circ \alpha \right )\left ( v_2 \right ) \Leftrightarrow \left ( \beta \circ \varphi \right )\left ( v_1 \right ) = \left ( \beta \circ \varphi \right )\left ( v_2 \right ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow v_1 = v_2 \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} \beta, \varphi \end{eqnarray}$ injektiv nach Vorraussetzung. Passt es so bzgl der Injektivität?
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11.01.2021, 14:17	Fumez	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, danke für die Antwort, neuer Versuch erstmal nochmal bzgl. der Injektivität: => Seien $\begin{eqnarray} \psi, \alpha \end{eqnarray}$ injektiv nach Vorraussetzung und seien $\begin{eqnarray} w_1, w_2 \in W \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \beta \left ( w_1 \right ) = \beta \left ( w_2 \right ) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \beta \left ( w_1 \right ) = \beta \left ( w_2 \right ) \Leftrightarrow \left ( \beta \circ \varphi \circ \varphi^{-1} \right )\left ( v_1 \right ) = \left ( \beta \circ \varphi \circ \varphi^{-1} \right )\left ( v_2 \right ) \Leftrightarrow \left ( \psi \circ \alpha \circ \varphi^{-1} \right )\left ( v_1 \right ) = \left ( \psi \circ \alpha \circ \varphi^{-1} \right )\left ( v_2 \right ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \varphi^{-1} \left ( v_1 \right ) = \varphi^{-1}\left ( v_2 \right ) \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} \psi, \alpha \end{eqnarray}$ injektiv nach Vorraussetzung $\begin{eqnarray} \Rightarrow v_1 = v_2 \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ Isomorphismus nach Vorraussetzung <= Seien $\begin{eqnarray} \varphi, \beta \end{eqnarray}$ injektiv nach Vorraussetzung und seien $\begin{eqnarray} v_1, v_2 \in v \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \alpha \left ( v_1 \right ) = \alpha \left ( v_2 \right ) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \alpha \left ( v_1 \right ) = \alpha \left ( v_2 \right ) \Leftrightarrow \left ( \psi \circ \alpha \right )\left ( v_1 \right ) = \left ( \psi \circ \alpha \right )\left ( v_2 \right ) \Leftrightarrow \left ( \beta \circ \varphi \right )\left ( v_1 \right ) = \left ( \beta \circ \varphi \right )\left ( v_2 \right ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow v_1 = v_2 \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} \beta, \varphi \end{eqnarray}$ injektiv nach Vorraussetzung. Passt es so bzgl der Injektivität?
11.01.2021, 15:38	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht nicht so schlecht aus, aber du solltest w nicht grundlos v nennen. Implikationen sind besser als Aequivalenzen, wenn man nur eine Richtung beweisen möchte. Ausserdem wäre der Beweis durchsichtiger, wenn du die Kompositionen von Abbildungen klammerst und dafür die Assoziativitaet benutzt. Dann erkennt man den Beweisgrund in jedem einzelnen Schritt.
11.01.2021, 15:44	Fumez	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay vielen Dank, das werde ich noch ändern. Jetzt die Surjektivität einfach "analog" mit der Definition von Surjektivität?
11.01.2021, 17:38	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
"Analog" ist nicht genau genug, der Teufel steckt im Detail. Wenn es so einfach wäre, wäre es "trivial".

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