Unleserlich! Aussagen wahr oder falsch

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l.a._schiggi Auf diesen Beitrag antworten »
Aussagen wahr oder falsch
Meine Frage:
1. Es gibt eine Äquivalenzrelation ? auf der Menge {0,1,2,3,4,5} so, dass die Menge

{0},{1,2},{3,4,5}

die Faktormenge {0,1,2,3,4,5} /? von {0,1,2,3,4,5} bezüglich ? ist.

2. Die Potenzmenge der Menge {0,1,2} bildet mit den Mengendurchschnitt ? eine
abelsche Gruppe.

3.Es gibt einen Körper (K,+, ·), für den die Menge K nur ein Element enthält.


4.Die Abbildung
?:R ? R,x ? x · x
ist eine lineare Abbildung auf dem reellen Vektorraum R.



5.Die Menge (2,1,0),(1,1,1)
ist eine Basis des Kerns der linearen Abbildung
?:R3 ? R,(x,y,z) ? x ? 2y+3z
vom reellen Vektorraum R3 nach dem reellen Vektorraum R.

Meine Ideen:
Bin mir sehr unsicher bei diesen Aussagen die anderen welche hier nicht dabei sind habe ich schon beantwortet diese sind übrig geblieben. Könnte mir bitte jemand helfen und mir sagen welche Aussagen wahr und welche falsch sind + kurze Begründung. Dankeschön
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

1. wahr
2.3.4.5. falsch
Gründe : trivial
l.a._schiggi Auf diesen Beitrag antworten »

Könntest du mir bitte noch mal genau erklären warum 2,3,4,5, falsch sind?

Vermutung 2. Ist falsch da ja die Potenzmenge aus den Teilmengen aller anderer Potenzen besteht.
3. Ist falsch da die einzige Menge die kein Element enthält die leere Menge ist und kein Körper existiert der eine leere Menge haben kann.
Bei 4. Und 5. Weiß ich leider nicht weiter.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich helfe mal bei 2. Das kann man sicher auf unterschiedlichste Art erledigen. Ich will dazu einmal Folgendes vorschlagen:

Die Potenzmenge der Menge besteht aus acht Elementen. Eines davon ist selber. Offenbar fungiert als neutrales Element bezüglich der Durchschnittsoperation, denn für alle gilt:



Weitere Elemente von sind die leere Menge und die Menge . Es gilt



Einmal angenommen, wäre unter der Durchschnittsoperation eine Gruppe. Dann müßte ein inverses Element, sagen wir , besitzen. Jetzt bilde in der Gleichung oben von links den Schnitt mit . Was folgt daraus?
l.a._schiggi Auf diesen Beitrag antworten »

Die leere Menge?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Was folgt daraus?


Zitat:
Original von l.a._schiggi
Die leere Menge?


Bitte mach dir erst einmal klar, daß das keine sinnvolle Gegenfrage ist. Eine Folgerung ist eine logische Aussage, kein Objekt.

Tu doch bitte das, was ich dir vorgeschlagen habe, und bilde in der Gleichung



von links den Schnitt mit , unter der Annahme, daß bezüglich das inverse Element von ist. Da entsteht eine Gleichung, die man weiter vereinfachen kann. Zur Erinnerung: Das neutrale Element bezüglich ist .
 
 
l.a._schiggi Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid ich bin gerade echt verwirrt traurig
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du hattest eine kurze Begründung gewünscht. Hier kommt eine ausführliche Begründung. Zu 2. siehe Leopold.

1. Jede Äquivalenzrelation impliziert eine Klasseneinteilung von M und umgekehrt.
2. xxx
3. Nach Definition enthält jeder Körper neutrale Elemente 0 (Addition) und 1 (Multiplikation), 0 ungleich 1.
4.
5. Abbildung undefiniert.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Dann mal ganz ausführlich:



ist die Potenzmenge von und besteht aus acht Elementen, den Teilmengen von (einschließlich der leeren Menge und selber). Als Operation liegt der Mengenschnitt zugrunde. Jetzt ist die Frage, ob damit eine Gruppe wird. Dazu mußt du erst einmal wissen, welche Axiome eine Gruppe erfüllen muß. Schau in deinen Unterlagen nach und schreib dir das noch einmal auf.

Eine Gruppe muß insbesondere ein neutrales Element besitzen. Dafür kommt hier nur in Frage. Denn der Schnitt einer Teilmenge mit der vollen Menge ergibt immer die Teilmenge. Beispiel:



So kannst du das für jedes andere ebenfalls machen. Also ist das neutrale Element bezüglich .

Jetzt nehmen wir einmal an, wäre eine Gruppe. Diese Annahme wollen wir durch eine stringente Argumentation zum Widerspruch führen.

Zunächst stellen wir fest, daß



ist. Das hat nichts mit einer unterstellten Gruppeneigenschaft zu tun, sondern liegt einfach an der Bedeutung des Schnitts und der leeren Menge: Schneidet man die leere Menge mit einer andern, so erhält man immer die leere Menge.

Wie gesagt, wir unterstellen, wäre eine Gruppe. Dann müßte jedes Element, auch , ein inverses Element besitzen. Und das von nennen wir einmal . Dieses inverse Element ist dadurch charakterisiert, daß es zum neutralen Element zurückführt, also



Oben hatten wir die Gleichung



Wir bilden den Schnitt mit :



Da der Mengenschnitt das Assoziativgesetz erfüllt, können wir auf Klammern verzichten. Jetzt vereinfache diese Gleichung aufgrund der Bedeutung von als des inversen Elementes von . Was erhältst du?
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