Luftdruck Zugspitze berechnen Exponentialfunktion

11.01.2021, 23:52

Namenloser1009

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Luftdruck Zugspitze berechnen Exponentialfunktion

Meine Frage:
Mache gerade eine Matheaufgabe, habe allerdings keinen Plan wie ich die lösen soll.
Luftdruck beträgt auf Meereshöhe 1013,25 hPa, nimmt um 0,0125% pro Meter zu. Die Zugspitze ist 2962m hoch, berechne den Luftdruck auf dem Gipfel des Berges.

Meine Ideen:
Meine Idee wäre nun gewesen diese 0,0125%/100 = 1,25 zu berechnen und anschließend f(x)=1013,25*1,25^2962m allerdings kommt dort bei mir im Taschenrechner "Math Error" daher weiß ich nicht ganz was ich bei der Rechnung falsch gemacht habe.

12.01.2021, 00:03

xb

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Der Druck nimmt ab und nicht zu
Die Basis wäre dann 1-0.0125/100=0.999875

12.01.2021, 10:07

Ulrich Ruhnau

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$\begin{eqnarray*} p=1013{,}25\cdot 1.000125^{-2962}\,\text{hPa} \end{eqnarray*}$

Das hier sollte der Barometrischen Höhenformel entspechen. Sie ist für die Meteorologie wichtig. Als Faustregel gilt, daß sich alle 5000 m der Luftdruck halbiert.

12.01.2021, 23:39

mYthos

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Zitat:

Original von xb
Der Druck nimmt ab und nicht zu
Die Basis wäre dann 1-0.0125/100=...

EDIT:
~~Das stimmt so nicht, das ist die falsche Herleitung!~~
.....
Du hast Recht, mir ist ein Rechenfehler unterlaufen. Mein Einwand war unzutreffend!
Im nachfolgenden Beitrag bin ich noch detaillierter darauf eingegangen.

mY+

13.01.2021, 13:31

HAL 9000

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Ich verstehe ehrlich gesagt diesen deinen Einwand nicht:

Wenn der Druck mit jedem Meter um den Relativanteil $\begin{eqnarray*} 0.0125\% = 0.000125 \end{eqnarray*}$ abnimmt, dann stimmt $\begin{eqnarray*} p(n)=(1-0.000125)\cdot p(n-1) = 0.999875\cdot p(n-1) \end{eqnarray*}$ sehr wohl, die explizite Darstellung $\begin{eqnarray*} p(n) = p(0)\cdot 0.999875^n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Höhenmeter folgt unmittelbar.

Genau genommen entspricht das nicht ganz der Rechnung $\begin{eqnarray*} p(n) = p(0)\cdot 1.000125^{-n} \end{eqnarray*}$ von U.Ruhnau, allerdings macht man bei Näherung $\begin{eqnarray*} (1-\varepsilon)^n\approx (1+\varepsilon)^{-n} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |\varepsilon|\ll 1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n,\varepsilon \end{eqnarray*}$ in den Größenordnungen hier keinen praxisrelevanten Fehler - genauso wäre auch die noch etwas andere Näherung $\begin{eqnarray*} p(n) = p(0)\cdot e^{-0.000125n} \end{eqnarray*}$ im akzeptablen Genauigkeitsrahmen. smile

smile

13.01.2021, 14:30

mYthos

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Stimmt! Danke für die Aufmerksamkeit.
Leider ist mir ein Rechenfehler bei dem Prozentsatz i = 0.0125 unterlaufen.
Der richtige Quotient (Faktor) ist dann q = 1 + i = 1,000125, der Abnahmefaktor tatsächlich 1 - i = 0.999875
--------

Die Frage, ob nun mit dem Kehrwert von q, also $\begin{eqnarray*} \frac 1 {1+i} = 0.9998750156 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 1 - i = 0.9998750000 \end{eqnarray*}$ zu rechnen ist, ist hier - wegen der praktischen Äquivalenz - obsolet, aber anderswo durchaus berechtigt*.
Außerdem ist diese Luftdruck-Formel ohnehin nur eine grobe Näherung, die Genauigkeit hier so weit treiben zu wollen, bringt nichts.
Genauer wäre eigentlich mit der internationalen barometrischen Höhenformel zu rechnen.

(*)
Ist der Relativanteil als Abnahme definiert, so muss sogar mit 1-i gerechnet werden.
Wenn der Faktor angegeben ist, im Falle man von oben kommt, also der Luftdruck stetig steigt, müsste es folgerichtig auf dem Weg nach oben mit dem Kehrwert 1/(1+i) gemacht werden**.

Wir hatten mit dieser Problematik der missverständlichen Angaben schon öfters im Forum zu tun.

(**) Die im Wikipedia-Artikel der barometrischen Höhenformel beschriebenen Beziehungen sind sehr komplex.
Signifikant ist aber, dass es sich um Exponentialfunktionen mit negativen Exponenten handelt und daher die Darstellung mit dem Kehrwert des Änderungsfaktors relevant ist.

mY+

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13.01.2021, 14:44

HAL 9000

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Zitat:

Original von mYthos
Die Frage, ob nun mit dem Kehrwert von q, also $\begin{eqnarray*} \frac 1 {1+i} = 0.999875 \end{eqnarray*}$ oder 1 - i = 0.9998750000 zu rechnen ist, ist hier - wegen der praktischen Äquivalenz - obsolet, aber anderswo durchaus nicht unwichtig*.

Völlige Zustimmung, deswegen hatte ich oben extra nochmal

Zitat:

Original von HAL 9000
für $\begin{eqnarray*} |\varepsilon|\ll 1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n,\varepsilon \end{eqnarray*}$ in den Größenordnungen hier

mit angefügt. Auch bei sehr kleinen $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ driften beide Formel auseinander, sofern $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nur groß genug ist - kann man ja anhand des Quotienten $\begin{eqnarray*} \left(1-\epsilon^2\right)^n \end{eqnarray*}$ beider Größen bewerten, wann die Näherung aus dem Ruder läuft.

13.01.2021, 16:57

xb

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Ich habe hier passend zur Aufgabe etwas zum Nachdenken

Vor einiger Zeit wurde eine Bergwanderung unternommen.
Beim Start im Tal wurde der Luftdruck gemessen (Bild links)
Oben auf dem Gipfel wurde dann wieder gemessen (Bild rechts)
Zur Überraschung aller hatte der Luftdruck zugenommen.

Wie kann man das erklären?

13.01.2021, 18:20

mYthos

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Die Temperatur ist nicht gleich geblieben. Wenn es oben recht kalt ist, erhöht sich die Luftdichte ...

mY+

13.01.2021, 18:54

xb

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Zitat:

Original von mYthos
Die Temperatur ist nicht gleich geblieben. Wenn es oben recht kalt ist, erhöht sich die Luftdichte ...

mY+

Die Temperaturabnahme von zB 280K auf 270K wirkt sich auf den Druck kaum aus
Da muss es eine andere Erklärung geben

14.01.2021, 12:43

willyengland

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Wetteränderung: Hochdruck-, Tiefdruckgebiet

14.01.2021, 18:03

xb

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Zitat:

Original von willyengland
Wetteränderung: Hochdruck-, Tiefdruckgebiet

Hier besteht eine theoretische Möglichkeit
Angenommen man hätte bei Start starken Tiefdruck (Minus 50mbar). Dann ändert sich das Wetter extrem und
man hätte auf dem Gipfel starken Hochdruck (Plus 50mbar). Das hätte schon starken Einfluß

Es hat sich das Wetter aber nicht geändert
Tatsächlich hatte man beim Start schon starken Hochdruck
Auf dem linken Bild erkennt man,dass in einer Höhe von ca 400m (steht im Bild oben) ein Druck von 1010mbar herrscht.
Das ist sehr viel für diese Höhe. Da spielt aber sicher auch die Ungenauigkeit des Barometers ein Rolle

Hoch bzw Tiefdruck erklären die Beobachtung nicht

15.01.2021, 12:20

willyengland

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Kennst du denn die Lösung?

15.01.2021, 16:56

xb

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Zitat:

Original von willyengland
Kennst du denn die Lösung?

Ja
Man kann mal berechnen was man für einen Druckunterschied erwartet. Man hat alle Angaben im Foto und hat die Formel in der Aufgabe

18.01.2021, 18:16

xb

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Hier die Auflösung des Rätsels

Man kann den zu erwarteten Druckunterschied berechnen

$\begin{eqnarray*} p(1km)=1010e^{-\frac{1}{8} }mbar=890mbar \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Delta p=120mbar \end{eqnarray*}$

Man erkennt,dass das Gerät für einen solchen Druckunterschied gar nicht geeignet ist

Der Druck nimmt also nur scheinbar zu

Auf dem Foto sieht man die Fahrt mit dem Lift von der Talstation auf den Gipfel

(Das Rätsel stammt nicht von mir. Ich war auch nie an dem Ort)

19.01.2021, 08:16

willyengland

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Cool!

Freude

Danke für die Auflösung!

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