Dimension einer Abbildung bestimmen

13.01.2021, 09:47

Peppi526478

Dimension einer Abbildung bestimmen

Meine Frage:
Guten Morgen,
ich habe folgende Aufgabe gebeben:

Gegeben sind:
$\begin{eqnarray*} a= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} b= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} c= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} d= \begin{pmatrix} x \\ 2x \\ 2 \\ 5x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und es ist die lineare Abbildung:
f: $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{4x1} -> \mathbb{R} : e => a^t*e \end{eqnarray*}$

gegeben.

Die Aufgabe ist: Bestimmen Sie dim(f( $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{4x1} \end{eqnarray*}$ ) Bestimmen Sie damit dim(Kern(f))

Meine Ideen:
Ich habe zuerst f(a) = 1, f(b)=0, f(c) = 0, f(d) = 2-4s ausgerechnet.
Doch wie bestimmt man nun die Dimension?

Heißt das ich muss nun dim( $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 2-4s \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ) berechnen, was ja = 1 wäre?

Stehe da etwas auf dem Schlauch und würde mich über etwas Hilfe freuen.

Lg Peppi

13.01.2021, 11:37

Elvis

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Für die Abbildung ist nur der Vektor a relevant. Es gibt Vektoren, die nicht auf die 0 abgebildet werden, also ist die Dimension des Bildraums nicht 0. Da bleiben nicht viele Möglichkeiten übrig, und die Dimension des Kerns liefert der Rangsatz.

13.01.2021, 13:17

Peppi526478

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also ich hab jetzt ein bisschen im Internet rumgesucht.
Verstehe ich das richtig, dass man um die Dimension einer Matrix zu erhalten, diese in Zeilenstufenform bringen muss?
Da ich ja nur eine Spalte habe, ist das ja schon erreicht, da 2 Zeilen = 0 sind, dann ist die Dimension = 2?

Wenn das so stimmt, mach ich damit gleich mal mit der 2. Teilaufgabe weiter.

danke.

13.01.2021, 13:53

HAL 9000

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Zitat:

Original von Peppi526478
Da ich ja nur eine Spalte habe, ist das ja schon erreicht, da 2 Zeilen = 0 sind, dann ist die Dimension = 2?

Nein. Die Dimension des Bildraums kann höchstens so groß sein wie die Dimension des Zielraumes der Abbildung, und letztere ist hier gleich $\begin{eqnarray*} \dim\left(\mathbb{R}\right) = \dim\left(\mathbb{R}^1\right) = 1 \end{eqnarray*}$ . Und jetzt liest du dir am besten Elvis' letzten Beitrag nochmal in Ruhe durch.

13.01.2021, 14:49

Peppi526478

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uiuiui

Also, wenn nur Vektor a relevant ist,
also
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , dann lassen sich ja Zeile 3 und 4 mittels Addition/Subtraktion mit der 1. Zeile zu Nullzeilen umformen.
Dann bleibt nurnoch die 1.
Da die Dimension maximal 1 sein kann und ich 0 schon versucht hatte, bleibt also nur dim = 1.

Wie muss ich mir das Vorstellen, also warum ist nur der Vektor a relevant, welche besondere Rolle nimmt dieser Vektor hier ein? Weil das Ergebnis der Abbildung immer von $\begin{eqnarray*} a^t \end{eqnarray*}$ abhängt?

"Die Dimension des Bildraums kann höchstens so groß sein wie die Dimension des Zielraumes der Abbildung, und letztere ist hier gleich dim(&#8477 Augenzwinkern

=dim(ℝ1)=1" Das ist sehr nützlich, vielen Dank!

13.01.2021, 18:02

Elvis

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Zum Beispiel : $\begin{eqnarray*} f\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}= a^t\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}= (1,0,1-,1)\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=1\ne 0\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Du musst nicht mit Matrizen oder Vektoren oder sonstigen Objekten irgend etwas machen, du musst nur lesen, was ich geschrieben habe. Das einfache Verständnis für die lineare Abbildung ist oft wichtiger als die Anwendung von Algorithmen auf Komponentenvektoren und Darstellungsmatrizen, denn man sieht den "Abbildungswald" vor lauter "Zahlenbäumen" nicht.

14.01.2021, 11:44

klarsoweit

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Kommentar am Rande: da ich eher aus der Analysis komme, habe ich mich gefragt, was wohl $\begin{eqnarray*} a^t \end{eqnarray*}$ sein soll, bis ich jetzt gemerkt habe, daß das t kein Exponent sein soll, sondern daß die Transponierung $\begin{eqnarray*} a^T \end{eqnarray*}$ gemeint ist. Hammer

Ein kleiner Hinweis zur Symbolbedeutung wäre manchmal hilfreich. Augenzwinkern

14.01.2021, 12:52

Elvis

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Für Algebraiker ist das sonnenklar, wir machen nur einfache Sachen mit komplizierten Objekten. Wir differenzieren so gut wie nie, weil wir davon nicht genug verstehen. Die komplizierten Operationen überlassen wir gerne den Tüftlern unter den Analytikern. Gelegentlich profitieren wir von deren Resultaten, die wir dann gerne benutzen. Funktionentheorie und allgemeine Relativitätstheorie verstehe ich gerade noch, aber aktiv werden möchte ich darin lieber nicht, weil ich nie weiß, ob meine Berechnungen richtig oder falsch sind.

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