Median bei ordinalskalierten Werten mit gerader Anzahl

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Hubert1965 Auf diesen Beitrag antworten »
Median bei ordinalskalierten Werten mit gerader Anzahl
Den Median kann man bei allen Verteilungen ermitteln, die über eine innere Ordnung verfügen. Das ist bei allen Werten möglich, die nicht nominalskaliert sind (also verhältnis-, intervall- und, denn darum geht es in meiner Frage: ordinalskaliert)

Man sortiert die Werte aus der Stichprobe. Der Median ist dann der Werte, der genau in der Mitte der Liste steht.

Beispiel 1:
Fünf Angehörige des österreichischen Bundesheeres haben ihren Dienstgrad angegeben. Die Antworten, bereits nach Dienstgrad sortiert, sind:

{Gefreiter, Gefreiter, Korporal, Oberwachtmeister, Vizeleutnant}

In der Mitte der Liste steht der Korporal, also ist »Korporal« der Median dieser Stichprobe. - Soweit ist alles klar.

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Das funktioniert aber nur bei einer ungeraden Anzahl von Werten in der Stichprobe. Wenn die Anzahl gerade ist, verlangt die Definition, die man in unzähligen Quellen nachlesen kann, dann man das arithmetische Mittel jener beiden benachbarten Werte verwenden soll, zwischen denen sich die Mitte der Liste befindet. Das geht aber nur bei verhältnis- und intervallskalierten Werten.

Beispiel 2:
In 6 Städten wurde zur selben Zeit die Temperatur gemessen, mit diesen Resultaten (bereits sortiert):

{4, 4, 5, 6, 6, 6}

Um den Median zu ermitteln, nimmt man also den Mittelwert der beiden Werte 5 und 6. Das Ergebnis (der Median) ist daher 5,5.

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Aber was ist, wenn man den Median einer ordinalskalierten Stichprobe mit einer geraden Anzahl von Elementen hat und daraus den Median ermitteln soll?

Beispiel 3:
Wie Beispiel 1, aber mit 6 Soldaten:
{Gefreiter, Gefreiter, Korporal, Wachtmeister, Stabswachtmeister, Vizeleutnant}

Die Definition verlangt, dass ich die Werte »Korporal« und »Wachtmeister« addierte und die Summe durch 2 teile. Diese Operation ist aber für ordinalskalierte Werte nicht definiert.

In diesem Fall gibt es einen Dienstgrad, der genau zwischen Korporal und Wachtmeister liegt, nämlich den Zugsführer. Ist also »Zugsführer« der Median dieser Stichprobe? (Der Median muss kein Wert aus der Stichprobe sein. Siehe Beispiel 2)

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Aber was wäre dann die Antwort bei dieser Stichprobe:

Beispiel 4:
{Gefreiter, Gefreiter, Korporal, Oberwachtmeister, Stabswachtmeister, Vizeleutnant}

Zwischen dem Korporal und dem Oberwachtmeister gibt es zwei Dienstgrade (nämlich Zugsführer und Wachtmeister) Welcher der beiden ist der Median? Oder muss man nun erst recht wieder das arithmetische Mittel aus Zugsführer und Wachtmeister berechnen?

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Dass man den Median bei ordinalskalierten Werten ermitteln kann, wird in so gut wie jedem Lehrbuch behauptet. Hier sind ein paar Quellen aus dem Internet, in denen das behauptet wird:



Wenn das so ist: Wie ermittelt man dann wirklich den Median, wenn die Stichprobe eine gerade Anzahl von Elementen enthält?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hubert1965
Das funktioniert aber nur bei einer ungeraden Anzahl von Werten in der Stichprobe. Wenn die Anzahl gerade ist, verlangt die Definition, die man in unzähligen Quellen nachlesen kann, dann man das arithmetische Mittel jener beiden benachbarten Werte verwenden soll, zwischen denen sich die Mitte der Liste befindet. Das geht aber nur bei verhältnis- und intervallskalierten Werten.

Richtig, so ist es üblich, wenn man einen EINDEUTIGEN Medianwert haben will. Gemäß eigentlicher Definition kann man aber jeden Wert als "Median" bezeichnen, der folgendes erfüllt:

"Mindestens 50% aller Werte sind Median" UND "Mindestens 50% aller Werte sind Median".

Im Falle einer geraden Anzahl bedeutet das, dass BEIDE mittleren Werte der Mediandefinition genügen - bei intervallskalierten Werten sogar das gesamte abgeschlossene Verbindungsintervall dieser beiden Werte!

Auf dein Beispiel 3 { Gefreiter, Gefreiter, Korporal, Wachtmeister, Stabswachtmeister, Vizeleutnant } angewandt bedeutet das die zugehörige Medianmenge { Korporal, Wachtmeister } .


Ganz analog wird es übrigens bei -Quantilen für beliebige gehandhabt:

"Mindestens Anteil aller Werte sind -Quantil" UND "Mindestens Anteil aller Werte sind -Quantil".

Auch hier kann es bei bestimmten Konstellationen von und Stichprobenumfang dazu kommen, dass es mehrere -Quantile gibt! Der Median ordnet sich diesem Konzept völlig ein als Spezialfall .
Hubert1965 Auf diesen Beitrag antworten »

Warum ist dann im Beispiel 2 mit den Temperaturen laut einhelliger Meinung aller Lehrbücher nicht die Menge {5, 6} die Menge aller Mediane, sondern der einzelne Wert 5,5, der ja nicht mal in der Stichprobe vorkommt?

Die Bedingung
"Mindestens 50% aller Werte sind Median" UND "Mindestens 50% aller Werte sind Median"
ist im Beispiel 3 auch mit dem Diestgrad »Zugsführer« erfüllt. Ist »Zugsführer« nun ein valider Median oder nicht?
Wäre denn nicht jedes Element aus der Menge {Korporal, Zugsführer, Wachtmeister} ein Median? Warum nur {Korporal, Wachtmeister}?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hubert1965
Warum ist dann im Beispiel 2 mit den Temperaturen laut einhelliger Meinung aller Lehrbücher nicht die Menge {5, 6} die Menge aller Mediane, sondern der einzelne Wert 5,5, der ja nicht mal in der Stichprobe vorkommt?

Das frag die Autoren. Außerdem lehnst du dich auch ein bisschen weit aus dem Fenster mit dem "einhellig" - da liest du nicht genug bzw. die falschen Bücher. smile

Es gibt auch die Meinung, dass die Medianmenge in diesem Fall das abgeschlossene Intervall ist, sogar (man sollte es nicht für möglich halten) in der Wikipedia:

Zitat:
https://de.wikipedia.org/wiki/Median#Median_einer_Stichprobe

Ein Wert ist Median einer Stichprobe, wenn mindestens die Hälfte der Stichprobenelemente nicht größer als und mindestens die Hälfte nicht kleiner als ist.


Es ist ja auch im Sinne dieser Definition nicht falsch, den Wert 5.5 als Median dieser Stichprobe zu bezeichnen - nur ist es eben nicht der einzige Median.

Wie ich oben schon sagte: Die Mittelwertbildung erfolgt dann, wenn man mit aller Gewalt unbedingt nur einen einzigen Wert als Median nennen will - da nimmt man dann halt die Mitte des Medianintervalls als (faulen?) Kompromiss. In deinem Dienstgrad-Beispiel kann man natürlich die Option vergessen, auch ein Intervall-Inneres zu betrachten.


P.S.: Anscheinend hast du massive Probleme dich mit der Tatsache abzufinden, dass die allgemeine Mediandefinition in bestimmten Situationen mehr als einen Medianwert zulässt - musst du vielleicht erstmal sacken lassen. smile
Hubert1965 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Anscheinend hast du massive Probleme dich mit der Tatsache abzufinden, dass die allgemeine Mediandefinition in bestimmten Situationen mehr als einen Medianwert zulässt


Was veranlasst dich, das zu glauben? Ich habe gar kein Problem damit, im Gegenteil, es erscheint mir sogar sehr logisch. Aber wenn die erste Antwort noch Details offen lässt, frage ich eben gerne nach.

Beispielsweise erschien es mir unlogisch, dass im Beispiel mit den Dienstgraden nur die beiden in der Stichprobe enthaltenen Ränder des Intervalls zur Medianmenge gehören sollen, nicht aber auch die Werte dazwischen. Deine erste Antwort hat das suggeriert, erst in der zweiten hast du das klargestellt. Auch die Handhabung des arithmetischen Mittels war nach deiner ersten Antwort nicht eindeutig geklärt, jetzt aber schon.

Vielen Dank für deine Antworten, du hast mir sehr geholfen!

p.S.: Ich mag es nicht, wenn man mir Motive und sogar »massive« Ängste unterstellt, die ich gar nicht habe. Ich würde mich auf einem Mathe-Forum lieber über mathematische Vermutungen als über psychologische unterhalten.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hubert1965
Ich mag es nicht, wenn man mir Motive und sogar »massive« Ängste unterstellt, die ich gar nicht habe.

Von "Ängsten" war keine Rede... Wenn es um Übertreibungen oder Überspitzungen ("einhellig") geht, scheinst du dich mal an die eigene Nase fassen zu müssen - nichts für ungut. Augenzwinkern


Zitat:
Original von Hubert1965
Beispielsweise erschien es mir unlogisch, dass im Beispiel mit den Dienstgraden nur die beiden in der Stichprobe enthaltenen Ränder des Intervalls zur Medianmenge gehören sollen, nicht aber auch die Werte dazwischen. Deine erste Antwort hat das suggeriert

Tut mir ehrlich leid, dass ich nicht die gesamte lückenlose Dienstgradmenge inklusive deren Ordnung parat habe - da hättest du erst einen Einführungslehrgang (Grundausbildung? Teufel ) machen müssen. Ein bewusstes "suggerieren" war das jedenfalls nicht.
 
 
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