Volumen Rotationskörper um beide Achsen

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Mathman91 Auf diesen Beitrag antworten »
Volumen Rotationskörper um beide Achsen
Hallo zusammen,

ich habe folgende Aufgabe:

und soll das Volumen berechnen.
Einmal für die Rotation um die x-Achse und einmal um die y-Achse.
Grenzen:

Rotation um die x-Achse:



integrieren und die Lösung lautet: 46,07 FE

Das Ergebnis passt.

Nun zur Rotation um die y-Achse:

Zuerst stelle ich nach x um:



quadrieren



9 auf die andere Seite bringen und die Wurzel ziehen



Wenn ich das jetzt integriere und das ganze ausrechne:



komme ich auf: 159,18 FE

Hier bekomme ich ein falsches Ergebnis heraus.

Wo liegt mein Fehler?
xb Auf diesen Beitrag antworten »

Das braucht man andere Grenzen bei der Rotation um die y-Achse
Mathman91 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie komme ich auf diese Grenzen?
xb Auf diesen Beitrag antworten »

Man muss die x Werte in die Funktion einsetzen und die entsprechenden y Werte sind dann die Grenzen
Ich würde mir das mal aufzeichnen


Zitat:
Original von Mathman91




9 auf die andere Seite bringen und die Wurzel ziehen





hier ist ein Fehler
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Zuerst muss man die inverse Funktion von bilden, indem man x und y vertauschst und danach nach y umstellt. Das ergibt die inverse Funktion . Geometrisch ergibt sich die inverse Funktion durch Spiegelung der "alten" Funktion an der Geraden y=x. Zeichne beide Funktionen mal auf! Dann werden auch die neuen Integrationsgrenzen klar.

Die neuen Integrationsgrenzen lauten [0;4], was sich durch Einsetzen der alten Integrationsgrenzen [3;5] in die ursprüngliche Gleichung ergibt.

Zu berechne ist also folgendes Integral:

Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen,

nur eine Anmerkung - und dann bin ich wieder weg.

Bei der Rotation um die y-Achse bietet sich auch folgender Weg an:

mit

Grenzen berechnen und das bestimmte Integral berechnen:



..... und tschüss! Wink
 
 
Mathman91 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah o.k.,

wenn ich z.B. folgende Funktion hätte:

Und ich will es auch hier um die y-Achse rotieren lassen, dann muss ich hier aber nicht eine Umkehrung durchführen:

Hier kann ich einfach umformen zu:



Wieso ist das hier nicht notwendig?
Woran erkenn ich, das ich umkehren muss?

Danke für die Hilfe.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Durch die Auflösung nach hast du doch die Umkehrung durchgeführt. (Ich verstehe nur nicht, warum du nicht mit den einfachen Brüchen und arbeitest, sondern das Ergebnis durch grob gerundete Kommazahlen unnnötig verfälschst.)

Eine Funktion hat eine Eingabe und eine Ausgabe:

, d.h.

oder auch

, d.h.

oder auch

, d.h.

Wenn dieselbe Vorschrift ist, handelt es sich dreimal um dieselbe Funktion. Deshalb gilt auch, Integrierbarkeit vorausgesetzt:



Daß man lernt, beim Bilden der Umkehrfunktion die Variablen zu vertauschen, hat nur damit zu tun, daß man sich nicht umgewöhnen will, entweder indem man die Ordinatenachse (Hochachse) als Achse der Eingaben für die unabhängige Variable und die Abszissenachse (Rechtsachse) als Achse der Ausgaben für die abhängige Variable nimmt (was zur Folge hätte, daß Funktion und Umkehrfunktion durch denselben Graphen dargestellt werden) oder indem man zwar die Achsen für Ein- und Ausgabe beläßt, aber die Variablen für Ein- und Ausgabe dann anders heißen (was zur Folge hätte, daß dieselbe Achse je nach Funktion oder Umkehrfunktion andere Variablenbezeichner trägt).

Wenn man sich die Funktion als abstraktes Gebilde ohne graphische Darstellung, nur als eindeutige Zuordnung, vorstellt, ist die ganze Umbenennung überflüssig. Und für das bloße Berechnen des Integrals auch.

Das alles ist zugegebenermaßen nicht ganz einfach zu begreifen, vor allem für Leute, die sich nicht gerne mit einer Sache an sich beschäftigen, sondern Mathematik nach Rezeptart betreiben: Für jedes Problem ein Rezept. Und so machen wir das dann immer, egal, wie hoch die Kosten sind. Und ein wenig habe ich dich im Verdacht, daß du der Gruppe der Rezeptmathematiker zuneigst.
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

[OT]
Zitat:
Original von Leopold
Wenn man sich die Funktion als abstraktes Gebilde ohne graphische Darstellung, nur als eindeutige Zuordnung, vorstellt, ist die ganze Umbenennung überflüssig. Und für das bloße Berechnen des Integrals auch.

Da stimme ich zu (sowie dem gesamten Beitrag), wobei ich nicht als Fachkollege, sondern nur als ehemaliger Schüler sprechen kann.
Aber: wieviele pro Klasse gibt es, die eine Funktion rein abstrakt vollständig begreifen und dafür nicht den zugehörigen Graph der Funktion benötigen - drei pro Klasse, vier? Und die anderen? Die wollen Mathe doch auch verstehen, oder zumindest eine mittlere Note erreichen, und die brauchen eben Hilfsmittel wie Bilder oder Ähnliches.
[/OT]

Ich stelle mal ein Bild ein, das zu Ehossens Beitrag passt und hoffentlich zum Verständnis beiträgt.

[attach]52456[/attach]
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich widerspreche dir nicht. Aber das sind dann in der Mehrheit auch diejenigen Schüler, die genau bei dieser Umbenennungsgeschichte immer wieder hereinfallen.
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