Äquivalenzrelation

Neue Frage »

Kongruenzen Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelation
Meine Frage:
Hallo zusammen, ich habe eine Frage bezüglich Äquivalenzrelationen:
Meine Aufgabe besteht darin, Relationen bzw. Äquivalenzrelationen anzugeben.
1) Geben Sie eine Relation R auf X = {5,7,8} mit |R| an.

2) Sei X = {1,..,6}, P = {{1}, {2,3}, {4,5,6}} gegeben.
Geben Sie eine Äquivalenzrelation R auf X an, sd. P deren Menge der Äquivalenzklassen ist.

Meine Ideen:
Soweit zu gut:
Zur 1) habe ich folgendes: R c X x X
Für Symmetrie muss gelten: x ~ y <=> y ~ x
- (5,7): 5 ~ 7 und (7,5): 7 ~ 5
- (5,8): 5 ~ 8 und (8,5): 8 ~ 5
=> R = {(5,7), (7,5), (5,8), (8,5)} ist bsp. Relation R

Zur 2) hab ich folgendes: R c X x X
Äquivalenzrelation bedeutet:
1. x ~ x
2. x ~ y <=> y ~ x
3. x ~ y, y ~ z => x ~ z
Ich habe folgendes gewählt:
(1,1): 1 ~ 1 (Reflexivität)
(2,3): 2 ~ 3 und (3,2): 3 ~ 2 (Symmetrie)
(4,5): 4 ~ 5 und (5,6): 5 ~ 6 und (4,6): 4 ~ 6 (Transitivität)
Also R = {(1,1), (2,3), (3,2), (4,5), (5,6), (4,6)}
Frage: Muss ich für die gülitige Refelxivität auch noch die Tupel (2,2),..(6,6) mit in mein R nehmen?
Jetzt beschreiben ja die vers. Äquivalenzklassen genau eine disjunkte Zerlegung von X, das würde dann meine Frage mit Nein beantwortet, da dann die Menge P nicht mehr passen würde.

Ist meine Antwort zu 1) richtig und bin ich bei 2) hab dem richtigen Weg? smile
MFG
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

In deiner Lösung von 1) hebst du auf die Symmetrie ab. Davon steht nichts in Aufgabe 1). Falls das dort vergessen wurde, ist deine Lösung richtig. Ansonsten hättest du es dir noch einfacher machen können: Einfach drei oder mehr verschiedene Paare angeben.

Bei 2) sind Teile richtig. soll ja eine Äquivalenzklasse sein. Deshalb brauchen wir die Paare in (beachte auch die Reflexivität). Keine der Zahlen 2 oder 3 darf mit einer der andern Zahlen 1,4,5,6 gemeinsam in einem Paar sein.
Welche Paare werden von den beiden anderen Äquivalenzklassen geliefert?
Kongruenzen Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Antwort.
Ja bei 1) hätte noch stehen sollen "geben Sie eine symmetrische Relation an"

Zur 2)
Nun von der Menge {1} in P erhalte ich nur das Tupel (1,1)
Von der Menge {4,5,6} in P erhalte ich folglich:
- (4,4), (5,5), (6,6) wegen der Refelxivität
- (4,5), (5,4), (4,6), (6,4), (5,6), (6,5) wegen der Symmetrie
- die Transitivität steckt doch schon in (4,5), (5,6) => (4,6) drin oder?
Dementsprechen wäre R folgendes:
R = {(1,1), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6), (4,5), (5,4), (4,6), (6,4), (5,6), (6,5)}
?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kongruenzen
- die Transitivität steckt doch schon in (4,5), (5,6) => (4,6) drin oder?


Oder auch:

Und du hättest statt deiner fragmentarischen Notation gerne noch dazuschreiben dürfen. So viel Zeit muß sein.

Zitat:
Original von Kongruenzen
Dementsprechen wäre R folgendes:
R = {(1,1), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6), (4,5), (5,4), (4,6), (6,4), (5,6), (6,5)}
?


Ja.
Kongruenzen Auf diesen Beitrag antworten »

Okay vielen Dank für die Hilfe und die mathematische Korrektheit, das muss ich mir noch aneignen.
Vielen Dank! smile
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »